主要内容

什么是卡尔曼滤波器?

标准卡尔曼滤波器

在状态空间模型框架，卡尔曼滤波估计的价值潜在的，线性，随机，动态过程的基础上可能错误的观测。在给定不确定性分布假设的情况下，卡尔曼滤波器也通过极大似然估计模型参数。

从状态的初始值开始(x0 | 0)，初始状态方差-协方差矩阵(P0 | 0)，以及所有未知参数的初始值(θ0)，简单的卡尔曼滤波:

  1. 估计,t= 1,…,T：

    1. 超前一步的向量状态预测向量的时期t（ x ＾ t | t − 1 )及其方差-协方差矩阵( P t | t − 1 ）

    2. 期间观测预报的提前一步向量t（ y ＾ t | t − 1 )及其估计方差-协方差矩阵( V t | t − 1 ）

    3. 的过滤后的状态的时期t（ x ＾ t | t )及其估计方差-协方差矩阵( P t | t ）

  2. 将预测和过滤后的估计输入数据似然函数

    ln p （ y T ， .．. ， y 1 ） ＝ ∑ t ＝ 1 T ln ϕ （ y t ； y ＾ t | t − 1 ， V t | t − 1 ） ，

    在哪里 ϕ （ y t ； y ＾ t | t − 1 ， V t | t − 1 ） 多元正态概率密度函数是否具有均值 y ＾ t | t − 1 和方差 V t | t − 1 ．

  3. 将此过程输入优化器，以最大化模型参数的可能性。

状态预测

年代状态预测是对某个时期状态的估计t使用周期内的所有信息(例如，观察到的响应)t- - - - - -年代．

的米t-by-1向量的1步前，状态预测的时期t是 x t | t − 1 ＝ E （ x t | y t − 1 ， .．. ， y 1 ） ．状态预测的估计向量为

x ＾ t | t − 1 ＝ 一个 t x ＾ t − 1 | t − 1 ，

在哪里 x ＾ t − 1 | t − 1 是米t- 11过滤后的状态向量在期t- 1。

在期t，状态预测有方差-协方差矩阵

P t | t − 1 ＝ 一个 t P t − 1 | t − 1 一个 t ” + B t B t ” ，

在哪里 P t − 1 | t − 1 是被过滤状态的估计方差-协方差矩阵t- 1，给出所有的信息t- 1。

对应的提前1步的预测观测为 y ＾ t | t − 1 ＝ C t x ＾ t | t − 1 ， ，其方差-协方差矩阵为 V t | t − 1 ＝ V 一个 r （ y t | y t − 1 ， .．. ， y 1 ） ＝ C t P t | t − 1 C t ” + D t D t ” ．

一般来说,年代-超前，预测状态向量为 x t | t − 年代 ＝ E （ x t | y t − 年代 ， .．. ， y 1 ） ．的年代-超前，状态预测矢量为

x ＾ t + 年代 | t ＝ （ ∏ j ＝ t + 1 t + 年代 一个 j ） x t | t

和年代-step ahead，预测观测矢量为

y ＾ t + 年代 | t ＝ C t + 年代 x ＾ t + 年代 | t ．

过滤后的状态

状态预测在期t，使用所有周期内的信息(例如观察到的响应)进行更新t．

的米t-by-1的周期滤波状态向量t是 x t | t ＝ E （ x t | y t ， .．. ， y 1 ） ．滤波状态估计向量为

x ＾ t | t ＝ x ＾ t | t − 1 + K t ε ＾ t ，

地点:

  • x ＾ t | t − 1 是时期的状态预测向量吗t使用从周期1到周期1所观察到的响应t- 1。

  • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t．

  • ε ＾ t ＝ y t − C t x ＾ t | t − 1 是ht-by-1估计观测创新的周期向量t．

换句话说，就是在某个时间段过滤的状态t预测的状态是否在某个时期t再加上一个基于观察可信度的调整。可信观测对应的观测创新方差很小(例如，的最大特征值)DtDt”相对较小)。因此，对于给定的估计观测创新，术语 K t ε ＾ t 对过滤状态值的影响比不可信的观测值大。

在期t，滤波状态有方差-协方差矩阵

P t | t ＝ P t | t − 1 − K t C t P t | t − 1 ，

在哪里 P t | t − 1 状态预测在某一时期的估计方差-协方差矩阵是多少t，给出了所有的信息t- 1。

平滑状态

平滑状态是某个时期的估计状态吗t，使用所有可用的信息(例如，所有观察到的响应)对其进行更新。

的米t周期平滑状态的-乘1向量t是 x t | T ＝ E （ x t | y T ， .．. ， y 1 ） ．估计的平滑状态向量为

x ＾ t | T ＝ x ＾ t | t − 1 + P t | t − 1 r t ，

地点:

  • x ＾ t | t − 1 是状态预测在期t使用从周期1到t- 1。

  • P t | t − 1 是状态预测的估计方差-协方差矩阵，给出了所有周期内的信息t- 1。

  • r t ＝ ∑ 年代 ＝ t T ｛ ［ ∏ j ＝ t 年代 − 1 （ 一个 t − K t C t ） ］ C 年代 ” V 年代 | 年代 − 1 − 1 ν 年代 ｝ ， 在那里,

    • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t．

    • V t | t − 1 ＝ C t P t | t − 1 C t ” + D t D t ” ，即预测观测值的估计方差-协方差矩阵。

    • ν t ＝ y t − y ＾ t | t − 1 ，即观测值与预测值之间的差值t．

平滑状态扰动

平滑状态扰动是估计的，状态扰动在周期t，使用所有可用的信息(例如，所有观察到的响应)对其进行更新。

的kt-乘1的平滑状态扰动的周期向量t是 u t | T ＝ E （ u t | y T ， .．. ， y 1 ） ．平滑状态扰动的估计向量为

u ＾ t | T ＝ B t ” r t ，

在哪里rt公式中的变量是用来估计的吗平滑状态．

在期t，平滑状态扰动具有方差-协方差矩阵

U t | T ＝ 我 − B t ” N t B t ，

在哪里Nt为公式中估计平滑状态方差-协方差矩阵的变量。

该软件计算平滑估计使用卡尔曼滤波器的向后递归．

预测的观察

年代-提前一步，预测的观测是估计的观测期间t使用周期内的所有信息(例如，观察到的响应)t- - - - - -年代．

的nt-by-1向量，提前一步，预测观测期间t是 y t | t − 1 ＝ E （ y t | y t − 1 ， .．. ， y 1 ） ．预测观测值的估计向量为

y ＾ t | t − 1 ＝ C t x ＾ t | t − 1 ，

在哪里 x ＾ t | t − 1 是米t的估计向量状态预测在期t．

在期t，超前1步，预测观测值有方差-协方差矩阵

V t | t − 1 ＝ V 一个 r （ y t | y t − 1 ， .．. ， y 1 ） ＝ C t P t | t − 1 C t ” + D t D t ” ．

在哪里 P t | t − 1 状态预测在某一时期的估计方差-协方差矩阵是多少t，给出了所有的信息t- 1。

一般来说,年代-超前，状态预测矢量为 x t | t − 年代 ＝ E （ x t | y t − 年代 ， .．. ， y 1 ） ．的年代-step ahead，预测观测矢量为

y ＾ t + 年代 | t ＝ C t + 年代 x ＾ t + 年代 | t ．

平滑观察创新

平滑观察创新是估计，观察创新的时期吗t，使用所有可用的信息(例如，所有观察到的响应)对其进行更新。

的ht-by-1向量的平滑，观测创新的周期t是 ε t | T ＝ E （ ε t | y T ， .．. ， y 1 ） ．平滑的观测创新的估计向量为

ε ＾ t ＝ D t ” V t | t − 1 − 1 ν t − D t ” K t ” r t + 1 ，

地点:

  • rt和νt公式中的变量是用来估计的吗平滑状态．

  • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t．

  • V t | t − 1 ＝ C t P t | t − 1 C t ” + D t D t ” ，即预测观测值的估计方差-协方差矩阵。

在期t，平滑观测创新具有方差-协方差矩阵

E t | T ＝ 我 − D t ” （ V t | t − 1 − 1 − K t ” N t + 1 K t ） D t ．

该软件计算平滑估计使用卡尔曼滤波器的向后递归．

卡尔曼增益

  • 的生卡尔曼增益是一个矩阵，表示在卡尔曼滤波递归过程中对观测值的权重。

    原始的卡尔曼增益是米t——- - - - - -ht矩阵计算使用

    K t ＝ P t | t − 1 C t ” （ C t P t | t − 1 C t ” + D t D t ” ） − 1 ，

    在哪里 P t | t − 1 是状态预测的估计方差-协方差矩阵，给出了所有周期内的信息t- 1。

    原始卡尔曼增益的值决定了观测值的权重。对于给定的估计观测创新，如果的最大特征值DtDt”相对较小，则原始卡尔曼增益赋予观测值相对较大的权重。的最大特征值DtDt”则原始卡尔曼增益对观测值的权重相对较小。因此，过滤的状态在时期t与相应的状态预测接近。

  • 考虑提前一步状态预测的时期t+ 1使用到句点的所有信息t．的调整卡尔曼增益（ K 一个 d j ， t )是对某一时期估计观测创新的权重t（ ε ＾ t )，而州政府的预测则提早两步( x ＾ t + 1 | t − 1 )．

    也就是说,

    x ＾ t + 1 | t ＝ 一个 t x ＾ t | t ＝ 一个 t x ＾ t | t − 1 + 一个 t K t ε ＾ t ＝ x ＾ t + 1 | t − 1 + K 一个 d j ， t ε ＾ t ．

卡尔曼滤波器的向后递归

卡尔曼滤波器的向后递归估计平滑状态、状态扰动和观测创新。

软件通过以下方法估计平滑值:

  1. 设置rT+ 1= 0,NT+ 1到一个米T——- - - - - -米T矩阵的0

  2. 为t＝T，...，1，it recursively computes:

    1. rt(见平滑状态）

    2. x ＾ t | T ，即平滑状态矩阵

    3. Nt(见平滑状态）

    4. P t | T ，即平滑状态的估计方差-协方差矩阵

    5. u ＾ t | T 的矩阵平滑状态扰动

    6. U t | T ，即平滑状态扰动的估计方差-协方差矩阵

    7. ε ＾ t | T 的矩阵平滑观察创新

    8. E t | T ，为平滑观测创新点的估计方差-协方差矩阵

分散卡尔曼滤波器

考虑这样编写的状态空间模型米分散状态(xd)被隔离n静止的状态(x年代)．即初始分布的矩为

μ 0 ＝ ［ μ d 0 μ 年代 0 ］ 和 Σ 0 ＝ ［ Σ d 0 0 0 Σ 年代 0 ］ ．

  • μd0是一个米向量的零

  • μ年代0是一个n实数的向量

  • Σd0＝κ我米,在那里我米是米——- - - - - -米单位矩阵,κ为正实数。

  • Σ年代0是一个n——- - - - - -n正定矩阵。

  • 弥散态与定态之间不相关。

分析这种模型的一种方法是设置κ到一个比较大的，正实数，然后实现标准卡尔曼滤波器(见舰导弹)．这种处理是一种近似的分析，处理扩散状态就好像它们的初始状态协方差接近无穷。

的分散卡尔曼滤波器或exact-initial卡尔曼滤波器[60]通过采取κ∞。漫反射卡尔曼滤波分为两个阶段进行滤波:第一阶段对模型进行初始化，然后使用标准卡尔曼滤波对模型进行滤波，这是第二阶段。初始化阶段反映标准卡尔曼滤波器。它将所有初始过滤状态设为零，然后用单位矩阵增加初始过滤状态向量，该矩阵由(米+n)——- (米+n+ 1)矩阵。当周期足够多时，精度矩阵就是非奇异的。也就是说，漫反射卡尔曼滤波器在序列的开始使用足够的周期来初始化模型。你可以把这个时间段看作是前样例数据。

当精确矩阵是非奇异时，第二阶段开始。具体来说，初始化阶段返回一个由过滤状态及其精度矩阵组成的向量。然后，标准卡尔曼滤波器使用这些估计和剩余的数据对参数进行滤波、平滑和估计。有关详细信息，请参见dssm和[60], 5.2秒。。

参考文献

杜宾J.和S. J.库普曼。基于状态空间方法的时间序列分析．2版。牛津:牛津大学出版社，2012。

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