傅立叶变换-MATLAB与Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

傅里叶变换

傅里叶变换的定义

傅里叶变换是将图像表示为不同幅度、频率和相位的复指数之和。傅里叶变换在广泛的图像处理应用中起着至关重要的作用，包括增强、分析、恢复和压缩。

如果F(M,N)是两个离散空间变量的函数吗M和N，然后二维傅里叶变换的F(M,N)是由关系来定义的吗

$F (ω_{1.}, ω_{2.}) = \sum_{M = - \infty}^{\infty} \sum_{N = - \infty}^{\infty} F (M, N) E^{- J ω_{1.} M} E^{- J ω_{2.} N} ．$

的变量ω_1.和ω_2.是频率变量;单位是每个样本的弧度。F(ω_1.,ω_2.)通常被称为频域代表F(M,N)．F(ω_1.,ω_2.)复值函数是否同时具有周期性ω_1.和ω_2.,以期 $2. π$ ．由于其周期性，通常只取范围 $- π \leq ω_{1.}, ω_{2.} \leq π$ 会显示出来。请注意,F(0,0)是的所有值的总和F(M,N)．由于这个原因,F(0,0)通常被称为恒定的组件或直流分量傅里叶变换。（DC代表直流电；它是一个电气工程术语，指的是恒压电源，而不是电压呈正弦变化的电源。）

变换的逆是一种操作，当对变换后的图像执行时，会产生原图像。二维傅里叶反变换由

$F (M, N) = \frac{1.}{4. π^{2.}} \int_{ω_{1.} = - π}^{π} \int_{ω_{2.} = - π}^{π} F (ω_{1.}, ω_{2.}) E^{J ω_{1.} M} E^{J ω_{2.} N} D ω_{1.} D ω_{2.} ．$

粗略地说，这个等式意味着F(M,N)可以表示为具有不同频率的无限多个复指数(正弦)的和。在频率处的贡献的大小和相位(ω_1.,ω_2.)是由F(ω_1.,ω_2.)．

可视化傅里叶变换

为了说明这一点，考虑一个函数F(M,N)矩形区域内等于1，其他区域等于0。为了简化图表，F(M,N)显示为连续函数，即使变量M和N它们是离散的。

矩形函数

下图以网格图的形式显示了傅里叶变换的幅度，

$| F (ω_{1.}, ω_{2.}) |,$

如上图所示的矩形函数的网格图。量级的网格图是显示傅里叶变换的常用方法。

矩形函数的幅值图像

情节中心的顶点是F(0,0)，它是所有值的和F(M,N)．情节也显示了这一点F(ω_1.,ω_2.)在高水平频率比在高垂直频率有更多的能量。这反映了横截面F(M,N)是窄脉冲，而垂直截面是宽脉冲。窄脉冲比宽脉冲具有更多的高频成分。

另一种可视化傅里叶变换的常用方法是显示

$日志 | F (ω_{1.}, ω_{2.}) |$

如图所示。

矩形函数傅里叶变换的对数

使用对数有助于揭示傅里叶变换在某些区域的细节F(ω_1.,ω_2.)非常接近于0。

其他简单形状的傅里叶变换示例如下所示。

一些简单形状的傅里叶变换

离散傅里叶变换

在计算机上使用傅里叶变换通常涉及一种称为离散傅里叶变换（DFT）的变换形式。离散变换是一种变换，其输入和输出值为离散样本，便于计算机操作。使用这种形式的转换有两个主要原因：

DFT的输入和输出都是离散的，便于计算机操作。
有一种计算DFT的快速算法称为快速傅里叶变换(FFT)。

DFT通常定义为离散函数F(M,N)仅在有限区域上是非零的 $0 \leq M \leq M - 1.$ 和 $0 \leq N \leq N - 1.$ ．二维M——- - - - - -NDFT和逆M——- - - - - -NDFT关系由

$F (P, Q) = \sum_{M = 0}^{M - 1.} \sum_{N = 0}^{N - 1.} F (M, N) E^{- J 2. π P M / M} E^{- J 2. π Q N / N} \begin{matrix} P = 0, 1., ..., M - 1. \\ Q = 0, 1., ..., N - 1. \end{matrix}$

和

$F (M, N) = \frac{1.}{M N} \sum_{P = 0}^{M - 1.} \sum_{Q = 0}^{N - 1.} F (P, Q) E^{J 2. π P M / M} E^{J 2. π Q N / N} \begin{matrix} M = 0, 1., ..., M - 1. \\ N = 0, 1., ..., N - 1. \end{matrix}$

的值F(P,Q)的DFT系数是F(M,N). 零频率系数，F(0,0)，通常被称为“直流分量”。直流是电气工程术语，表示直流电。(注意MATLAB中的矩阵指标^®总是从1而不是0开始;因此，矩阵元素F(1,1)和F(1,1)对应于数学上的数量F(0,0)和F(0,0)分别为。）

MATLAB函数fft,fft2,fftn实现快速傅里叶变换算法，分别计算一维DFT、二维DFT和N维DFT。功能ifft,ifft2,ifftn计算逆DFT。

和傅里叶变换的关系

DFT系数F(P,Q)是傅里叶变换的样本吗F(ω_1.,ω_2.)．

$\begin{matrix} F (P, Q) = F (ω_{1.}, ω_{2.}) |_{\begin{array}{l} ω_{1.} = 2. π P / M \\ ω_{2.} = 2. π Q / N \end{array}} & \begin{array}{l} P = 0, 1., ..., M - 1. \\ Q = 0, 1., ..., N - 1. \end{array} \end{matrix}$

离散傅里叶变换的可视化

构造矩阵F这和函数很相似F(M,N)在例子中傅里叶变换的定义．记住,F(M,N)在矩形区域内等于1，其他区域为0。用二值图像表示F(M,N)．
```
f = 0(30、30);在《f(5:24福音》里)= 1;imshow (f,‘InitialMagnification’,‘适合’)
```
计算并可视化30 × 30的DFTF这些命令。
```
F = fft2 (F);F2 =日志(abs (F));imshow (F2, [1 - 5], ' InitialMagnification ', '适应');colormap(飞机);colorbar
```
无填充的离散傅里叶变换计算

这个图与图中显示的傅里叶变换不同可视化傅里叶变换. 首先，傅里叶变换的采样要粗得多。第二，零频率系数显示在左上角，而不是传统的中心位置。
为获得更精细的傅里叶变换采样，加零填充F计算它的DFT时。使用此命令，零填充和DFT计算可以在单个步骤中执行。
```
F = fft2 (256256);
```
这个命令是零焊盘F在计算DFT之前为256 × 256。
```
imshow(日志(abs (F)), [1 5]);colormap(飞机);colorbar
```
用填充计算离散傅里叶变换
然而，零频率系数仍然显示在左上角而不是中心。你可以通过使用这个函数来解决这个问题fftshift，交换象限F所以零频率系数在中心。
```
F = fft2(F,256,256);imshow(日志(abs (F2)), [1 5]);colormap(飞机);colorbar
```
结果图与图中所示的是相同的可视化傅里叶变换．

傅里叶变换的应用

本节介绍傅里叶变换的许多图像处理相关应用中的一些。

线性滤波器的频率响应

线性滤波器的脉冲响应的傅里叶变换给出了滤波器的频率响应。这个函数freqz2计算并显示滤波器的频率响应。高斯卷积核的频率响应表明，该滤波器通过低频，衰减高频。

h=f特殊（“高斯”）；频率Z2（h）

高斯滤波器的频率响应

看见设计频域线性滤波器有关线性滤波、滤波器设计和频率响应的更多信息。

使用傅里叶变换进行快速卷积

打开生活的脚本

此示例演示如何使用傅里叶变换对两个矩阵执行快速卷积。傅里叶变换的一个关键特性是，两个傅里叶变换的乘积对应于相关空间函数的卷积。该特性与快速傅里叶变换一起构成了快速卷积算法的基础。

注：基于FFT的卷积方法最常用于大输入。对于较小的输入，通常使用imfilter函数。

创建两个简单的矩阵，A.和B．A.是M-x-N矩阵，并且B是一个p × q矩阵。

一个=魔法(3);B = 1 (3);

在A.和B所以它们至少是（M+P-1）-（N+Q-1）。（经常A.和B是否将0填充为2的幂fft2是这些尺寸中最快的。)该示例将矩阵填充为8 × 8。

(8) = 0;8 B(8日)= 0;

计算二维离散傅里叶变换A.和B使用fft2功能。将两个DFT相乘，并使用ifft2函数。

C = ifft2 (fft2 (A)。* fft2 (B));

提取结果的非零部分，去除因舍入误差引起的虚部分。

C = C (1:5, 1:5);C =实际(C)

C =5×58.0000 9.0000 15.0000 7.0000 6.0000 11.0000 17.0000 30.0000 19.0000 13.0000 15.0000 30.0000 45.0000 30.0000 15.0000 7.0000 21.0000 30.0000 23.0000 9.0000 4.0000 13.0000 15.0000 11.0000 2.0000

基于fft的相关性定位图像特征

打开生活的脚本

这个例子展示了如何使用傅里叶变换来执行相关，这与卷积密切相关。相关性可用于定位图像中的特征。在这种情况下，通常称为相关性模板匹配．

将示例图像读入工作区。

bw = imread (“text.png”）;

从图像中提取字母“a”，创建一个匹配模板。的交互式语法也可以创建模板imcrop函数。

a=体重（32:45,88:98）；

通过将模板图像旋转180度，然后使用基于FFT的卷积技术，计算模板图像与原始图像的相关性。（如果将卷积内核旋转180度，卷积相当于相关性。）要将模板与图像匹配，请使用fft2和ifft2功能。在生成的图像中，明亮的峰值对应于字母的出现。

C =实际(ifft2 (fft2 (bw)。* fft2 (rot90 (a, 2), 256256)));图imshow (C, [])%缩放图像到适当的显示范围。

图中包含一个轴对象。axes对象包含类型为image的对象。

要查看模板在图像中的位置，请找到最大像素值，然后定义一个小于此最大值的阈值。阈值图像将这些峰值的位置显示为阈值相关图像中的白点。（为了使此图中的位置更容易看到，该示例放大阈值图像以放大点的大小。）

马克斯(C (:))

ans=68

打= 60;%使用一个略小于最大值的阈值。D=C>thresh；se=strel(“磁盘”,5); E=扩张（D，se）；图3（E）%显示像素值超过阈值。