构建小波构造的提升方法 - MATLAB＆SIMULINK万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

用于构建小波的提升方法

所谓的第一代小波和缩放功能是单一展开和单一功能的转换。傅立叶方法在这些小波的设计中发挥着关键作用。然而，小波基由单个函数的转换和扩张组成的要求施加了一些限制，限制了小波分析核心的多分辨率思想的效用。

小波方法的效用由设计延长第二代小波通过举。

不能使用单个函数的翻译和扩张的典型设置包括：

界域的设计小波- 这包括在较高维欧几里德空间中的间隔内或有界域的小波构造。
加权小波- 在某些应用中，例如偏微分方程的解，需要相对于加权内部产品的小波。
不规则间隔的数据- 在许多真实应用程序中，数据样本之间的采样间隔不等于。

设计新第一代小波需要傅里叶分析中的专业知识。瑞士人提出的提升方法（见[SWE98]参考）删除傅立叶分析中的专业知识的必要性，并允许您从初始一个开始产生无限数量的离散双正交小波。除了生成第一代小波，提升，提升方法也使您能够设计第二代小波，不能使用基于傅立叶的方法设计。升降，您可以设计解决缺点的小波第一代小波。

有关提升的更多信息，请参阅[SWE98]，[MAL98]，[STRN96]和[MISMOP03]参考。

举起背景

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由滤波器组实现的DWT由四个过滤器定义如下快小波变换（FWT）算法。感兴趣的两个主要属性是

完美的重建财产
与“真实”小波（如何生成的链接，从有限能量功能的空间的滤波器，正交或双正交基础开始）

为了说明完美的重建属性，以下滤波器组包含两个分解过滤器和两个合成滤波器。分解和合成滤波器可以构成一对双正交基础或正交基础。大写字母表示过滤器的Z变换。

这导致完美的重建（PR）过滤器银行的以下两个条件：

$H_{}^{〜} （ Z. ） H （ Z. ） + G_{}^{〜} （ Z. ） G （ Z. ） = 2 {Z.}^{- L. + 1}$

和

$H_{}^{〜} （ - Z. ） H （ Z. ） + G_{}^{〜} （ - Z. ） G （ Z. ） = 0.$

第一条件通常（错误地）称为完美的重建条件，第二个条件是抗锯齿条件。

这 ${Z.}^{- L. + 1}$ 术语意味着，完美的重建实现了比滤波器长度小的一个样品的延迟，L.。结果如果分析过滤器被移位为因果关系。

举通过从小波变换的基本性开始设计完美的重建滤波器银行。小波通过利用大多数现实世界数据中固有的相关性来改造稀疏表示。例如，在3天的时间内绘制电力消耗的示例。

加载Leleccum.绘图（LELECCUM）网格在轴紧的标题（'用电量'）

图包含轴。具有标题电力消耗的轴包含类型线的对象。

多相表示

这多相信号的表示是提升中的重要概念。您可以将每个信号视为由此组成阶段，它包括每一个N.-th样本以某种索引开头。例如，如果您将时间序列索引N.= 0.并拿走每个其他的样本N.= 0.，您提取偶数样本。如果您从中获取其他样本N.= 1，解压缩奇数样本。这些是数据的偶数和奇数的多相组成部分。由于样本之间的增量为2，因此只有两个阶段。如果您增加递增到4，则可以提取4个阶段。为了提升，浓缩在偶数和奇数多相组分上足以。下图说明了输入信号的该操作。

在哪里Z.表示单位前进操作员和数字2的向下箭头代表下采样。在提升的语言中，将输入信号分离为偶数和奇数组件的操作是称为偶数和奇数组件的分裂操作，或懒惰的小波。

要了解数学上提升，有必要了解偶数和奇数多相组分的Z域表示。

偶数多相组分的Z-变换是

$X_{0.} （ Z. ） = \underset{N.}{σ.} X （ 2 N. ） {Z.}^{- N.}$

奇数多相组分的z变换是

$X_{1} （ Z. ） = \underset{N.}{σ.} X （ 2 N. + 1 ） {Z.}^{- N.}$

您可以将输入信号的Z变换写入多相组分的Z变换的扩张版本的总和。

$X （ Z. ） = \underset{N.}{σ.} X （ 2 N. ） {Z.}^{- 2 N.} + \underset{N.}{σ.} X （ 2 N. + 1 ） {Z.}^{- 2 N. + 1} = X_{0.} （ {Z.}^{2} ） + {Z.}^{- 1} X_{1} （ {Z.}^{2} ）$

拆分，预测和更新

单个提升步骤可通过以下三个基本操作描述：

分裂- 信号分为不相交的组件。这样做的常见方法是提取解释的偶数和奇数多相组件多相表示。这也被称为懒惰的小波。
预测- 基于偶数多相组分的样品的线性组合的奇数多相组分。奇数多相组分的样品由奇数多相组分与预测值之间的差异替换。
更新- 基于从预测步骤获得的差异样本的线性组合的偶数多相组分。

在实践中，针对预测和更新操作并入规范化。

下图说明了一个提升步骤。

哈尔小波通过升降

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使用操作拆分，预测和更新，您可以通过升降来实现Haar小波。

分裂- 将信号划分为偶数和奇数多相组分
预测- 代替 $X （ 2 N. + 1 ）$ 和 $D. （ N. ） = X （ 2 N. + 1 ） - X （ 2 N. ）$ 。预测运营商简单 $X （ 2 N. ）$ 。
更新- 代替 $X （ 2 N. ）$ 和 $X （ 2 N. ） + D. （ N. ） / 2$ 。这是等于的 $（ X （ 2 N. ） + X （ 2 N. + 1 ）） / 2$ 。

z域中的预测运算符可以以以下矩阵形式写入：

$[\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

和 $P. （ Z. ） = 1$ 。

更新操作员可以用以下矩阵形式写入：

$[\begin{array}{c} 1 & S. （ Z. ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

和 $S. （ Z. ） = 1 / 2$ 。

最后，更新和预测归一化可以包含如下：

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0. \\ 0. & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & S. （ Z. ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

您可以使用升降机化学构造与哈尔小波相关的提升方案。

lschaar =升降机（'小波'那'哈尔'）;DISP（LSCHAAR）

小波：'Haar'升降步骤：[2×1]升降步骤标准化

请注意，为方便起见，负符号已被纳入其中预测提升步骤。元素标准化活性仪那1.4142和0.7071.，分别预测和更新归一化因子。maxOrder.给出了描述相应提升步骤的劳伦多因子的最高程度。在这种情况下，两者都是零，因为预测和更新升升既由标量介绍。

Bior2.2小波通过提升

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这个例子介绍了提升方案Bior2.2.双正交缩放和小波滤波器。

在哈尔提升方案中，预测运营商差异差异奇数甚至样本。在该示例中，定义一个新的预测运算符，其计算两个相邻偶数样本的平均值。从中间奇数样本中减去平均值。

$D. （ N. ） = X （ 2 N. + 1 ） - \frac{1}{2} [X （ 2 N. ） + X （ 2 N. + 2 ）]$

在z域中，您可以编写预测运算符

$[\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - \frac{1}{2} （ 1 - Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

要获取更新运算符，请检查更新运算符哈尔小波通过升降。该更新以这样的方式定义，即近似系数的总和与输入数据向量的平均值成比例。

$\underset{N.}{σ.} X （ N. ） = \frac{1}{2} \underset{N.}{σ.} 一种（ N. ）$

要在此提升步骤中获得相同的结果，请将更新定义为

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4.} （ {Z.}^{- 1} + 1 ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - \frac{1}{2} （ 1 + Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

您可以使用升降机化学获得提升方案。

Lscbior =升降机（'小波'那'bior2.2'）;DISP（LSCBIOR）

小波：'Bior2.2'升降步骤：[2×1]升降步骤标准化物质：[1.4142 0.7071] CustomLowPassFilter：[]升降节目：类型：“预测”系数：[-0.5000 -0.5000] maxOrder：1类型：'更新'系数：[0.2500 0.2500] maxOrder：0

为Haar提升方案添加提升步骤

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此示例显示如何将基本提升步骤添加到提升方案。

创建与Haar小波相关的提升方案。

LSC = Liftingscheme（'小波'那'哈尔'）;DISP（LSC）

小波：'Haar'升降步骤：[2×1]升降步骤标准化

创建一个更新基本提升步骤。为提升方案附加步骤。

els =升降步骤（'类型'那'更新'那'系数'，[ -  1/8 1/8]，'maxOrder'，0）;LSCNEW = Addlift（LSC，ELS）;DISP（LSCNEW）

小波：'自定义'升降步骤：[3×1]升降步骤标准化Factors：[1.4142 0.7071] CustomLowPassFilter：[]升降部门的详细信息：类型：'预测'系数：-1 maxOrder：0类型：'更新'系数：0.5000 MaxOrder：0类型：'更新'系数：[-0.1250 0.1250] maxOrder：0

从新的提升方案中获得分解和重建滤波器。

[LOD，HID，LOR，HIR] = LS2FILT（LSCNEW）;

采用Bswfun到绘制结果的缩放功能和过滤器。

Bswfun（LOD，HID，LOR，HIR，'阴谋'）;

图包含4个轴。具有标题分析缩放功能（PHIA）的轴1包含类型线的对象。具有标题分析小波函数（PSIA）的轴2包含类型线的对象。具有标题合成缩放功能（PHI）的轴3包含类型线的对象。具有标题合成小波功能（PSI）的轴4包含类型线的对象。

整数到整数小波变换

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在若干应用中，希望具有将整数输入映射到整数缩放和小波系数的小波变换。您可以轻松使用升降。

创建与Haar小波相关的提升方案。将基本提升步骤添加到提升方案。

LSC = Liftingscheme（'小波'那'哈尔'）;els =升降步骤（'类型'那'更新'那'系数'，[ -  1/8 1/8]，'maxOrder'，0）;lscnew = lsc.addlift（els）;

创建一个整数值信号。使用提升方案获得来自LWT的信号的整数到整数小波变换，'int2int'设置真的。

RNG.默认sig = randi（20,16,1）;[ca，cd] = lwt（sig，'Liftingscheme'，lscnew，'int2int'，真的）;

确认近似系数是全整数。

Max（ABS（CA-FALL（CA））））

ans = 0.

确认详细系数是全整数。

len =长度（CD）;为了K = 1：Len Disp（[k，max（abs（cd {k} -floor（cd {k}）））]）;结尾

1 0 2 0 3 0 4 0

反转变换并展示完美的重建。

XREC = ILWT（CA，CD，'Liftingscheme'，lscnew，'int2int'，真的）;max（abs（xrec-sig））

ans = 0.

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