从系列中:在MATLAB中求解ode
克里夫硅藻土,MathWorks
将一个有三条不同长度边的长方形物体(如麦片盒)抛向空中。可以使长方体围绕其最长轴或最短轴稳定翻滚。但如果你试着让它绕着中轴旋转,你会发现运动是不稳定的。角动量模型是一个由三个微分方程组成的非线性系统。有六个临界点:长轴和短轴对应的四个临界点是稳定的;与中轴相对应的两个轴不稳定。
下面是翻滚箱角动量的微分方程。试着把一本书,一个盒子,或者任何三个维度都不一样的直线物体,扭曲一下抛向空中,让它翻滚。
可以绕其最长轴旋转,也可以绕其最短轴旋转。但是你不能绕着它的中轴旋转。让我们用数值方法来研究这一现象。
这个匿名函数定义了三个一阶微分方程组。现在我将从接近第一个临界点的初始条件开始。1,0,0是临界点。我要用0.2乘以一个随机数,在临界点附近,然后对它进行标准化,使它的长度为1。
所以最大的分量是第一个分量。另外两个分量很小,但不是太小。这是一个简单的数值问题。这里没有刚度。所以我将使用ODE 23,从0到10积分,这是解决方案。
蓝色分量是第一个,它保持在1附近。另外两个是周期性的,围绕0旋转。让我们回到过去,再看一个开始条件。又来了。
现在,其他两个组件非常小。当我们积分时,蓝色分量在1附近保持不变。另外两个人几乎一动不动。
现在我要转到第三个临界点,0,0,1。做同样的事情。在附近取一个随机数。使用ODE 23。现在黄色分量保持在一个附近。另外两个周期性地在0附近移动。
运行一遍。第三个分量接近1。另外两个也不太大。并运行ODE 23。另一个分量保持在1附近。另外两个在0附近周期性地旋转。
现在我们要转到中间临界点。我们要试着让盒子绕着它的中轴旋转。第二个分量是接近1的那个。现在我们看到完全不同的行为。
这个锡耶纳分量不会停留在1附近。它在-1附近下降,然后又上升。让我们在更长的时间内进行积分,这样我们就能看到这种行为。
这是周期性的。但是下降到-1又回到1。另外两个在0附近以较大的振幅移动。这就是中间临界值的不稳定性。
让我们再来一次。同样的事情。1降到-1,然后返回。它是周期性的。这些解都是周期性的。但这一中间临界点并不稳定。现在,我想以一种不同的方式,以图形的方式来看待这万博 尤文图斯些问题。
微分方程有三个临界点。任何在这万博 尤文图斯些初始条件下开始的解都保持不变。但是如果在初始条件附近开始会发生什么呢?
结果是,x和z是稳定的临界点。但是y是一个不稳定临界点。如果角动量在x或z附近,它会停留在那里。但是如果它从y附近开始,它就会迅速离开。
你可以把x看做短轴,z是长轴。近短轴的旋转是稳定的。和旋转附近的长轴稳定。但是靠近中轴的旋转是不稳定的。
我们可以在下图中看到这一点。结果表明,如果一个解以范数为1的初始条件开始,它将保持范数为1。所以解存在于单位球面上。
这是三个临界点x y z的单位,如果这是地球,z就是北极。0子午线穿过赤道的轴线。那是在东大西洋,离西非不远。Y是子午线90度穿过赤道的位置。那是在印度洋,苏门答腊岛以西。
如果我们从x附近的初始条件开始,解绕x旋转,这是绕短轴的稳定旋转。如果我们从z附近的初始条件开始,解绕z旋转,这是绕长轴的稳定旋转。
但如果我们从y附近开始,解出发,到-y附近,转回来,回到y,周期性的,但在全球范围内没有变化。这实际上是一个圆,绕x的轨道。
如果我们上升到略高于y的位置,就会得到一个围绕z的轨道。向下一点,我们有一个围绕-z的轨道。在y的右边,我们有一个围绕-x的轨道。
让我们放大一点。我们可以看到y是一个经典的不稳定临界点。让我们画几个轨道作为结束。
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