到目前为止,我们已经研究了一阶结构的渐近性态,比如纯积分器或单极和零。一旦你开始处理典型的动态系统,很可能你将不得不处理高阶多项式表达式。处理这些的技巧是记住,任何多项式,不管阶数是多少,都可以被分解成一系列一阶结构对应于实根,以及一系列二阶结构对应于复共轭根。
二阶系统的典型例子是质量弹簧阻尼器和RLC电路。这两者都有一对复共轭根,这取决于阻尼与质量或电阻与电感的比率。一般来说,任何复杂的共轭极点对都可以写成这样的标准二阶传递函数形式,其中w_n称为固有频率,zeta称为阻尼比。
注意,对于我们的几个例子,固有频率等于根号k/m对于我们的基本机械系统等于根号1/LC对于我们的基本电气系统。不管怎样,如果我们计算这个二次多项式的根用标准公式- b加上-根号-我们发现复共轭根对是这个形式。注意,只要阻尼比小于1,这些根就会是一个复共轭对。任何大于1的数,两个根都是实数,这意味着系统将表现为两个一阶极点的乘积。
正如我们之前计算频率响应时所做的那样,我们用传递函数中的jw代替s。为了进行渐近近似,我们将观察w_n前后的趋势。当频率w远小于固有频率时,+1将主导分母。因此,幅值和相位都将近似为y 0.当频率w与固有频率匹配时,二阶项变为-1并与+1相消,中间项变为纯虚常数,其幅值为1/(2*zeta),相位为-90度,因为j在分母中,因此G落在负虚轴上。
最后,当频率w远远大于固有频率时,二次项将占主导地位。取对数时,平方会出来,然后乘以20,所以大小会渐近地接近一条直线斜率是-40 db / 10。相位会变成-180度,因为G现在落在负实轴上。
请注意,实际共振峰值略微下降到w_n的左侧,因为如果你观察极点的虚部,频率分量是w_n乘以(1-zeta)^2的平方根。该调整值称为阻尼固有频率。只有当阻尼比zeta接近0时,阻尼固有频率才会接近w_n。注意,在这种情况下,共振峰的大小将趋于无穷大。
阻尼比越小,共振峰越高,相位偏移越快。你可以看到,随着我们增加,共振峰的大小下降,相变变得更平滑。这里我想强调阻尼比为0.707((2)^1/2)/2,这通常被称为临界阻尼。这个阻尼使得在固有频率处的震级为-3 db。还要注意,当= 1时极点的虚部趋于0,二阶系统就变成了位于w_n的两个单实极点的乘积。
在这一点上,让我回到我们的交互式设计工具,因为我想强调一些额外的事情。首先,让我引入一对复杂的共轭极点,我将它们放置在接近每秒10弧度的位置。让我确保我将自然频率设置为正好10。
我注意到,因为我从阻尼比1开始,我的多项式是两个实根的乘积。一旦我将阻尼改变为小于1的任何值,比如说0.5,我的根就变成了一对复共轭值。注意,对于这种特殊情况,固有频率的幅值等于1/(2*zeta)变为1/1,在dBs中为0,因此交叉将以自然频率发生。
如果我选择较小的阻尼比率,你将看到的是更尖锐和更高的幅度峰值。在这种特殊情况下,我挑选了0.05,这意味着1 /(2 * Zeta)为10. 10为1,倍20是20 dbs。如果我改变了自然频率,我所做的就是改变该峰值的位置。
现在,如果我想增加或减少增益因为对数的性质,我们只是把这两个结构的影响叠加在一个图上。在这种情况下,增益为10的低值是1,乘以20是20db。所发生的就是整个震级轨迹向上移动了20。请注意,相位完全没有受到影响。
加个0,大约10弧度/秒。我要确保0恰好在10弧度处。现在的情况是- 40db的斜率我原来的斜率每10年向上移动了+ 20db。相位从-180上升到-90。类似地,如果我增加一个极点,假设是100弧度/秒,再次确认一下,是100现在- 40db / 10在0处变成-20,然后在新的极点之后又回到-40。因此,利用叠加的概念,我可以很容易地构造任何我感兴趣的传递函数。我要做的就是把传递函数分解成更小的结构,然后用图形把所有的轨迹加在一起。
理解这个简单的概念是非常有效的,因为它可以让我们通过观察波德图中的幅度和相位轨迹,对系统的主要动力学有一个很好的了解。
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