用。解一个平方线性方程组CGS.使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一种密度为50%。也为右边创建一个随机向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$．

rng默认的5 = sprand (600600);A = A'*A + speye(size(A));b =兰德(600 1);

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用CGS.．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

研究生院理事会x = (A, b);

CGS在迭代20处停止而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（20）具有相对残差0.068。

默认情况下CGS.使用20次迭代和一个公差1 e-6，算法在这20次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1的军医和40迭代。

X = CGS（A，B，1E-4,40）;

CGS在迭代40处停止而不会聚到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（第40页）具有相对残差0.0024。

即使有宽松的宽容和更多的迭代CGS.不收敛。当迭代算法以这种方式停止时，很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算不完整的粗心分解一种，并使用L.因素作为预处理器输入CGS.．

L = ichol(一个);x =研究生院理事会(A, b, 1的军医,40岁,左);

CGS在迭代14时收敛到一个相对残差为1.4e-05的解。

使用预处理器可以充分改善问题的数值性质CGS.能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果CGS.解线性方程组。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载west0479一个= west0479;

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用CGS.在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特);FL0.

fl0 = 1

rr0

rr0 = 1

IT0.

it0 = 0

FL0.是1因为CGS.不符合要求的公差1 e-12在要求的20次迭代中。其实，这种行为CGS.是如此的可怜以至于最初的猜测x0 = 0(大小(2),1)如所示，是最好的解决方案并返回it0 = 0．

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自一种不对称，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{m}=\mathit{L.}\mathit{你}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解决预处理系统 ${\mathit{一种}\mathit{m}}^{-1}\mathit{m}\mathit{X}=\mathit{B.}$通过指定L.和你作为输入,CGS.．

设置=结构(“类型”那“ilutp”那“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.3850 e-14

IT1

it1 = 3

an的使用ilu预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-12在第三次迭代。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以遵循的进步CGS.通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-O')举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),'-O'）yline（tol，“r——”）;传奇('没有预处理者'那ILU预处理的那“宽容”那“位置”那“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

检查供应的效果CGS.对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用CGS.解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用200个迭代和两个解决方案的默认容差。万博 尤文图斯将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99．

麦克斯特= 200;x1 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特);

CGS在第17次迭代时收敛到一个相对残差为8.8e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = cgs（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

CGS在第4次迭代时收敛到一个相对残差为8e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的CGS.更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1：4 [x，标志，relres] = cgs（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= relres;x0 = x;结尾

通过提供解一个线性方程组CGS.使用计算的函数句柄* x代替系数矩阵一种．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览矩阵。

a =画廊（“wilk”, 21)

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01210.0.0.0.0.0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作* x使用函数句柄。什么时候一种乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一种．而且，只有主对角线上有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$成为：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 9.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 8.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 7.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 6.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 5.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 4.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 3.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0.+10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}+0.\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1\\ 9.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0.\end{array}\right]$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值* x：

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结尾

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供CGS.使用计算的函数句柄* x．使用宽容1 e-12和50次迭代。

b = ins（21,1）;托尔= 1 e-12;maxit = 50;x1 = cgs（@ afun，b，tol，maxit）

CGS在迭代11处于具有相对残留的1.3E-14的溶液。

x1 =21×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查Afun（x1）产生一个1的向量。

Afun（x1）

ans =.21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结尾