用。解一个平方线性方程组min使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建稀疏的三角形矩阵一个作为系数矩阵。使用的行和一个的向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以解决方案 $\mathit{x}$应该是一个1的向量。

n = 400;On =那些（n，1）;a = spdiags（[ -  2 *在-2 *上4 *上]， -  1：1，n，n）;b =和(2);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用min．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{\Vert \mathrm{斧头}-\mathit{b}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$．

x =迷人（A，B）;

MINRES在迭代20处停止而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（20）相对残差0.017。

默认情况下min使用20个迭代和容忍度1E-6，算法在这20次迭代中无法收敛。因为剩余是1E-2，这是需要更多迭代的良好指示。您还可以降低容忍度，使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1E-4和250次迭代。

X =迷人（A，B，1E-4,250）;

Minres在迭代200时收敛到一个相对残差为7e-13的解。

检查使用预处理器矩阵的效果min解线性方程组。

创建一个对称的正面确定的带状系数矩阵。

a = delsq（numgrid（“年代”，102））;

定义b所以真解是所有1的向量。

b =和(2);

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 100;

使用min在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定6个输出以返回关于解决方案流程的信息:

(x0, fl0 rr0、it0 rv0, rvcg0] = minres (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

RR0 = 0.0013.

it0

IT0 = 100.

fl0是1因为min不符合要求的公差1E-12在请求的100次迭代中。

为了帮助收敛，可以指定一个预处理矩阵。自一个是对称的,使用ichol生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$．指定'ICT'使用具有阈值下降的不完整的Cholesky分解的选项，并指定对角线换档值1E-6避免非阳性枢轴。通过指定解决预处理系统l和L '作为输入,min．

setup = struct（“类型”，'ICT'，'diagcomp'1 e-6“droptol”1 e-14);L = ichol(设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1, rvcg1] = minres (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl1

fl1 = 0

rr1

RR1 = 2.4539E-15

it1

it1 = 4

an的使用ilu预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1E-12在第四次迭代。输出RV1（1）是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

你可以跟着进度min通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），“o”) yline(托尔,'r--'）;传奇（“没有预调节器”，“ICHOL预处理”，'宽容'，“位置”，“东”)包含('迭代号') ylabel (“相对残差”）

检查供应的效果min对解有一个初步的猜测。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用min来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。对两个解决方案使用200次迭代，并将初始猜测指定为带有等万博 尤文图斯于的所有元素的向量0.99．

麦克斯特= 200;x1 = minres (A, b,[],麦克斯特);

喇叭喇叭在迭代27以相对残留的9.5E-07溶液聚集在溶液中。

x0 = 0.99 *(大小(A, 2), 1);x2 = minres(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

Minres在迭代7时收敛到一个相对残差为6.7e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的min要更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = minres (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解决线性系统min使用计算的功能手柄* x代替系数矩阵一个．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克', 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作* x使用函数句柄。每一行一个把元素乘进去x，只有少数结果是非零的(对应于三对角线上的非零)。而且，只有主对角线上有不等于1的非零。表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21.}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值* x：

函数y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +......[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +......[x（2:21）;0];结束

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供min使用函数处理来计算* x．使用公差1E-12和50迭代。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = minres (@afun, b,托尔,麦克斯特)

在迭代11时，Minres收敛到一个相对残差为4.1e-16的解。

x1 =21日×10.0910 0.0990 0.0999 0.1109 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个1的向量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

函数y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +......[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +......[x（2:21）;0];结束