伽玛分布

概述

伽玛分布是一个双参数曲线系列。伽马分布模型呈指数分布式随机变量的和概括了Chi-Square和指数分布。

统计和机器学习工具箱™提供了使用伽玛分布的几种方法。

创建概率分布对象伽马分布通过将概率分布拟合到样本数据（Fitdist.）或通过指定参数值（制造主义者）。然后，使用对象函数来评估分发，生成随机数，等等。
通过使用相互作用地与伽玛分布一起使用配送钳工应用程序。您可以从应用程序导出对象并使用对象函数。
使用特定于分配的功能（GAMCDF.那Gampdf.那gaminv.那gamlike.那Gamstat.那gamfit.那GAMRND.那兰格）具有指定的分发参数。分发特定功能可以接受多个伽马分布的参数。
使用通用分发功能（CDF.那ICDF.那PDF.那随机的）具有指定的分发名称（'伽玛'）和参数。

参数

伽马分布使用以下参数。

范围	描述	万博1manbetx
`一种`	形状	一种`> 0`
`B.`	规模	B.`> 0`

标准伽马分布有单位规模。

具有形状参数的两个伽马随机变量的总和一种₁和一种₂两者都是比例参数B.是带有形状参数的伽马随机变量一种=一种₁+一种₂和比例参数B.。

参数估计

这似然函数是作为参数的函数观看的概率密度函数（PDF）。这最大可能性估计数（MLES）是最大化固定值的似函数的参数估计值X。

最大似然估计一种和B.对于伽玛分布是同时方程的解决方案万博尤文图斯

$\begin{matrix} 日志 \hat{一种} - ψ （ \hat{一种} ） = 日志（ \bar{X} / {（ π_{一世 = 1}^{N.} X_{一世} ）}^{1 / N.} ） \\ \hat{B.} = \frac{\bar{X}}{\hat{一种}} \end{matrix}$

在哪里 $\bar{X}$ 样本是对样品的意思X₁那X₂，......，X_N.那和ψ是digamma函数Psi.。

要将伽玛分布符合数据并找到参数估计，请使用gamfit.那Fitdist.，要么m。不像gamfit.和m，返回参数估计，Fitdist.返回拟合概率分布对象伽马分布。对象属性一种和B.存储参数估计值。

例如，看到适合伽玛分布到数据。

概率密度函数

伽玛分布的PDF是

$y = F （ X | 一种那 B. ） = \frac{1}{{B.}^{一种} γ. （一种）} X^{一种 - 1} {E.}^{\frac{- X}{B.}} 那$

其中γ（·）是伽马功能。

例如，看到计算伽马分布PDF。

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数（CDF）是

$P. = F （ X | 一种那 B. ） = \frac{1}{{B.}^{一种} γ. （一种）} \int_{0.}^{X} {T.}^{一种 - 1} {E.}^{\frac{- T.}{B.}} D. T. 。$

结果P.是从伽马分布与参数的单一观察的概率一种和B.落在间隔[0X]。

例如，看到计算伽玛分布CDF。

伽玛CDF与不完全的伽马功能有关Gammainc.经过

$F （ X | 一种那 B. ） = Gammainc. （ \frac{X}{B.} 那一种）。$

逆累积分配功能

伽玛CDF方面的伽马分布的反向累积分布函数（ICDF）是

$X = F^{- 1} （ P. | 一种那 B. ） = {X ： F （ X | 一种那 B. ） = P.} 那$

在哪里

$P. = F （ X | 一种那 B. ） = \frac{1}{{B.}^{一种} γ. （一种）} \int_{0.}^{X} {T.}^{一种 - 1} {E.}^{\frac{- T.}{B.}} D. T. 。$

结果X是与参数的伽马分布观察的值一种和B.落在范围内[0X]有概率P.。

前面的整体方程没有已知的分析解决方案。gaminv.使用迭代方法（Newton方法）收敛于解决方案。

描述性统计

伽玛分布的平均值是一种B.。

伽玛分布的方差是一种B.²。

例子

适合伽玛分布到数据

打开直播脚本

生成一个样本100.伽马随机数，形状3.和规模5.。

x = gamrnd（3,5,100,1）;

适合使用伽马分发Fitdist.。

pd = fitdist（x，'伽玛'）

PD =伽马分布凝血伽马分布A = 2.7783 [2.1374,311137] B = 5.73438 [4.30198,7.64372]

Fitdist.返回A.伽马分布目的。参数估计旁边的间隔是分布参数的95％置信区间。

估计参数一种和B.使用分发功能。

[Muhat，muci] = gamfit（x）％分布特定功能

穆罕默特=1×22.7783 5.7344

muci =2×22.1374 4.3020 3.6114 7.6437

[muhat2，muci2] = mle（x，'分配'那'伽玛'）％泛型功能

muhat2 =1×22.7783 5.7344

muci2 =2×22.1374 4.3020 3.6114 7.6437

计算伽马分布PDF

打开直播脚本

使用多种形状和比例参数计算伽玛分布的PDF。

x = 0：0.1：50;Y1 = Gampdf（x，1,10）;Y2 = Gampdf（x，3,5）;Y3 = Gampdf（x，6,4）;

绘制PDF。

数字;绘图（x，y1）持有在绘图（x，y2）绘图（x，y3）持有离开Xlabel（'观察'）ylabel（'概率密度'） 传奇（'a = 1，b = 10'那'a = 3，b = 5'那'a = 6，b = 4'）

图包含轴。轴包含3个类型的线。这些对象表示a = 1，b = 10，a = 3，b = 5，a = 6，b = 4。

计算伽玛分布CDF

打开直播脚本

使用多种形状和比例参数计算伽玛分布的CDF。

x = 0：0.1：50;Y1 = GAMCDF（x，1,10）;y2 = gamcdf（x，3,5）;Y3 = GAMCDF（X，6,4）;

绘制CDF。

数字;绘图（x，y1）持有在绘图（x，y2）绘图（x，y3）持有离开Xlabel（'观察'）ylabel（'累积概率'） 传奇（'a = 1，b = 10'那'a = 3，b = 5'那'a = 6，b = 4'那“地点”那“西北”）

图包含轴。轴包含3个类型的线。这些对象表示a = 1，b = 10，a = 3，b = 5，a = 6，b = 4。

比较伽玛和正态分布PDF

打开直播脚本

伽玛分布具有形状参数 $一种$ 和比例参数 $B.$ 。对于一个大 $一种$ ，伽玛分布与平均值密切相关 $μ. = ab$ 和方差 ${σ.}^{2} = 一种 {B.}^{2}$ 。

使用参数计算伽马分布的PDFa = 100.和B = 5.。

a = 100;B = 5;x = 250：750;Y_GAM = GAMPDF（X，A，B）;

为了比较，计算伽马近似的正态分布的平均值，标准偏差和PDF。

mu = a * b

mu = 500.

sigma = sqrt（a * b ^ 2）

西格玛= 50.

y_norm = normpdf（x，mu，sigma）;

绘制伽玛分布的PDF和同一图的正态分布。

plot（x，y_gam，' - '，x，y_norm，' - 。'） 标题（'伽玛和正常的PDF'）Xlabel（'观察'）ylabel（'概率密度'） 传奇（'伽玛分布'那'正态分布'）

图包含轴。具有标题伽马和普通PDF的轴包含2个类型的型号。这些对象代表伽马分布，正常分布。

正态分布的PDF近似于伽马分布的PDF。

参考

[1] Abramowitz，Milton和Irene A. Stegun，EDS。数学函数手册：用公式，图形和数学表。9.多佛打印;[nachdr。Der Ausg。von 1972]。数学的多佛书。纽约，纽约：Dover Pural，2013。

[2]埃文斯，梅兰，尼古拉斯黑斯廷斯和Brian孔雀。统计分布。第二次。纽约：J. Wiley，1993。

[3] Hahn，Gerald J.和Samuel S. Shapiro。工程统计模型。Wiley Classics库。纽约：Wiley，1994。

[4]律师，杰拉德F.终身数据的统计模型和方法。第二次。Wiley系列概率与统计。霍博肯，N.J：Wiley-Interscience，2003。

[5] Meeker，William Q.和Luis A. Escobar。可靠性数据的统计方法。Wiley系列概率与统计。应用概率与统计部。纽约：Wiley，1998。

[6] Marsaglia，George和Wai Wan Tsang。“生成伽马变量的简单方法。”数学软件上的ACM交易26，不。3（2000年9月1日）：363-72。https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8。

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伽玛分布

概述

参数

参数估计

概率密度函数

累积分布函数

逆累积分配功能

描述性统计

例子

适合伽玛分布到数据

计算伽马分布PDF

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