积分是结合无穷小数据点的数学度量。积分在所有工程学科中都有广泛的应用。
积分的类型
一般来说,积分可以是确定的或不确定的. 定积分表示具有有界上下限的函数,而不定积分表示没有极限的函数。
以下示例显示了一个不定积分:
$$I=\int3x^2 dx=x^3+c$$
其中“c”是一个常数。
同一方程的定积分必须有定义的极限。例如,我们可以将上述方程与极限[-2,2]积分,如下所示:
$$I=\int{-2}^2 3x^2 dx=(2^3+c)-(-2^3+c)=16$$
你可以用MATLAB®和符号数学工具箱™计算积分数字上和象征性地.
积分应用示例
- 曲线下的面积:
可以使用积分计算两条曲线下的面积。例如,我们定义了两条曲线,
$$x1=y^2-1$$
$$x2=1-y^2$$
并计算曲线下的面积,如下所示:
$$A=∫(x2-x1)dy=\frac{(-2y(y^2-3))}{3}$$
这里曲线\('A'\)下的面积是\('y'\)的函数,因为我们没有指定限制。如果我们将限制定义为\([-1,1]\),则积分返回的值为:
$$A=8/3$$
- 物体体积:
可以使用积分计算对象的体积。例如,可以从函数开始导出球体的体积:
$$f(x)=√(r^2-x^2)$$
它描绘了一个半径为“r”的半圆。围绕x轴旋转这个半圆将产生一个球体。
半圆的面积为
$$A=πf(x)^2$$
将这个面积与极限[-r,+r]积分,我们就得到了球体的体积:
$$V=∫_{-r}^{+r}A dx=\frac{(4πr^3)}{3}$$
- 运动物体的速度:
你可以通过求物体加速度相对于时间的定积分来求物体的速度,因为加速度只是简单地定义为速度随时间的变化率。
$$∆水平=∫Acc\;dt$$
计算积分的技巧
可以使用以下技术以数值方式计算积分:
- 辛普森求积
- 洛巴托求积
- 高斯-克朗罗德求积
有关积分数值和符号计算的更多信息,请参见MATLAB®符号数学工具箱™.