萤火虫在夏日的傍晚,起搏细胞,神经元在大脑中,一群椋鸟在飞行,摆时钟安装在一个共同的墙,奇异的化学反应,在电网交流电,振荡鱿鱼(超导量子干涉器件)。这些都是同步振荡器的例子。

Kuramoto模型是一个非线性动态系统的耦合振子最初有随机的自然频率和阶段。如果足够强的耦合,系统将发展一个振荡器在阶段。

内容

Yoshiki Kuramoto

Yoshiki Kuramoto是京都大学物理学名誉教授。他出生在1940年和1974年发表了第一篇关于这个模型。他很惊讶当他的模型结果抽象地描述很多不同的物理系统的动态。这是一个YouTube视频在2015年他追忆模型。

Kuramoto模型

美元$ n Kuramoto模型是一个系统的常微分方程

$ $ \点{\ theta_k} = \ omega_k + \压裂{\ kappa} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n{\罪{(\ theta_j - \ theta_k)}}, \ k = 1, ...., n $ $

这里\ theta_k美元(t)是一个实值函数的t美元描述的状态$ k美元th振荡器,\ omega_k美元的固有频率是k美元th振荡器和真正的标量\ kappa美元是之间的耦合振子的力量。

\ kappa = 0美元时,方程是线性和振荡器是独立的。

$ $ \ theta_k (t) = \ omega_k t $ $

当\ kappa美元增加到一个临界点,所有的振荡器的非线性项迫使阶段接近共同的限制。

Kuramoto应用

这是帮助我的条目kuramoto程序。

帮助kuramoto_

Kuramoto。Kuramoto同步振荡器的模型。kuramoto (n)有n个振荡器。默认是n = 100。模型是一个系统的常微分方程。k方程(d / dt) theta_k = omega_k + k / n * sum_j (sin (theta_j-theta_k)) theta_k k振荡器的相位,omega_k k的固有频率振荡器,k是一个标量耦合参数。最初,θ是分布均匀的间隔(0,2 *π)和ω是分布均匀的间隔(1 b, 1 + b), b是一个参数称为宽度。exp(我*θ)的角速度与蓝色的颜色编码的最快,最慢的黄色,绿色。exp(我*θ)的显示半径分布通常意味着1和标准差w w是一个参数称为宽度。这是纯粹的视觉效果和没有影响动力学。 Setting width to zero puts all the oscillators on the unit circle. The interface allows control of n, kappa, the speed of the ode solver, breadth and width. An alternate display mode, called "rotate", is a frame of reference rotating with angular velocity psi, the average of the thetas. A rotating arrow has length |z| where |z|*exp(i*psi) = 1/n*sum_k(exp(i*theta_k)). |z| = 0 indicates no synchronization, |z| = 1 is complete synchronization.

动画

我已经做了五gif动画显示程序。每个动画是一个细微的变化。我希望你的浏览器或观众给他们一起移动。如果那没有发生,在评论中让我们知道您使用的是什么系统。

kappa = 0

这里有控件的默认设置,包括kappa = 0。振荡器是每个移动他们的固有频率。没有同步。

k = 0.50

撞的耦合参数k = 0.50。这就迫使搬到一个共同的频率的振荡器。订单参数箭头生长完整。附近的样本最慢的黄色是试图赶上别人。

在旋转

你可以看到更好的在旋转坐标系称为“旋转”。蓝军,超过了平均水平,朝着一个方向,而黄色正朝着相反的方向越慢。

k = 0.12

把耦合参数回落到0.12。这是在阈值附近,启动同步。箭头增长缓慢,但是我们停止之前达到完整。

宽度= 0

设置宽度为零。这是相同的行动以前的动画,但是局限于圆。很难看到发生了什么。

一行程序

Kuramoto的常微分方程系统的代码是一个MATLAB™一行程序。

函数theta_dot =颂歌(~θ)theta_dot =ω+ k / n *总和(sin(θθ'));结束

n和卡巴是真实的标量。ω和θ是真实的列向量的长度n。单例扩张使θθ”成一个n——- - - - - -n矩阵的元素θ(j)θ(k)。和产生一个行向量,最后转置的结果一个列向量。

软件

我已经提交了kuramotoMATLAB中央文件交换。这里是链接。我也包括克里夫的4.60版本的实验室。

引用

维基百科,Kuramoto模型,https://en.wikipedia.org/wiki/Kuramoto_model。

德克布鲁克曼和Steven strogat,“骑Kuramotocycle”,https://www.complexity-explorables.org/explorables/ride-my-kuramotocycle。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2018b