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定量金融学一个著名的方程,x ^ 2 = 2 ^ x
最近播出的一集里流行的YouTube频道“blackpenredpen”是著名的方程的解决万博 尤文图斯方案呢
x ^ 2 = 2 ^ x
你应该能够看到两个解决方案,万博 尤文图斯x = 2和x = 4,因为2 ^ 2 = 2 ^ 2和4 ^ 2 = 2 ^ 4。
这篇文章是关于一个第三种解决方案。
内容
两个图形
图中显示的图表x ^ 2和2 ^ x和他们的十字路口。狭窄的白银地区是唯一的地区合适的半平面x ^ 2大于2 ^ x。
我们可以看到有三个路口,两个我们知道x = 2和x = 4和第三个的负值x。Blackpen仔细解释了如何描述这种消极的解决方案。
black_pen_plot
消极的解决方案
我很高兴得知我们的符号数学工具箱可以找到所有这三个解决方案,我们表明,我们只提供感兴趣的实值的解决方案。万博 尤文图斯(的行为x ^ 2 = 2 ^ x对于复杂的x是另一个主题)。
信谊x真正的z =解决(x ^ 2 = = 2 ^)
z = 2 4 - (2 * lambertw(0,日志(2)/ 2))/日志(2)
我们想知道更多关于这第三种解决方案。
z z = (3)
z = (2 * lambertw(0,日志(2)/ 2))/日志(2)
这个函数lambertw (x)参与这个解决方案是一个老朋友,LambertW函数。
对数
下图中的蓝色曲线是一块exp (x)。这对负趋于零x和积极的指数级增长的x。想象交换x和y轴通过反射的蓝色曲线斜虚线生产橙色曲线。橙色曲线是熟悉的。这是一个阴谋的功能性的倒数exp (x)这我们知道日志(x)。如果日志(y = x)然后x = exp (y)。
log_plot
目前公布的情节
LambertW
下图中的蓝色曲线是现在的一块x * exp (x)。反映的蓝色曲线斜生产橙色曲线、阴谋的功能性的倒数x * exp (x)。这个函数不一样熟悉日志(x)。它是lambertw (x)。如果y = lambertw (x)然后x = y * exp (y)。
我们需要评估y = lambertw (x)在x =日志(2)/ 2。这是一个黑点。一旦我们有了x和y消极的解决方案只是我们著名的方程z = - y / x。
lambertw_plot
目前公布的情节
许多数字
符号数学工具箱变量精度运算,vpa,会产生负面的数值解任意数量的数字。
z vpaz = vpa (z, 75)
z = (2 * lambertw(0,日志(2)/ 2))/日志(2)vpaz = -0.766664695962123093111204422510314848006675346669832058460884376935552795725
不动点
这是你的家庭作业。研究了迭代:
符号= x (x) * 2 ^ (x / 2)
考虑三种情况:
- 起始值介于0和4。
- 起始值大于4。
- 起始值小于0。
谢谢
感谢马克圆说唯一的解决方案。万博 尤文图斯
代码
的代码数据是可用的。
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