评估一家公司的真实市场价值对金融专业人士和技术分析师来说是一个挑战。英格兰银行的研究人员调查了这个问题，以了解一家公司的真实价值是如何受到高市场波动时期的影响的。
一个公司的资产受到诸如利润流和风险暴露等不确定性的影响。同样，违约风险是由相对于承诺的债务支付的不确定的未来资产价值驱动的。市场价值通常是用布莱克-斯科尔斯/默顿等数学模型估计的，这些模型是基于关于公司的免费但有限的信息，如市值、公布的债务面值和无风险利率。
金融危机暴露了这些方法的缺陷。这类模型的一个缺点是不能包括相对不频繁但极端的运动，或者跳跃，在观测的时间序列中。虽然跳跃通常只是偶尔观察到，但它们经常发生在金融危机或其他市场不确定时期。例如，图1中的图表显示了2007年上半年英国一家主要银行的市值，显示了几次不同程度的跃升(有上升的，也有下降的)。
图1所示。2007年上半年英国一家主要银行的市值。
评估跳跃对市场价值影响的一种方法是使用跳跃-扩散模型。这是两个随机过程的组合，一个是模拟一系列的通常行为，另一个是模拟随机发生的跳跃的存在。本文介绍了一个基于MATLAB的工作流程®，统计和机器学习工具箱™和信号处理工具箱™被用来估计跳跃扩散模型的参数，一个公司的隐藏市场价值，从免费可用的市场数据开始。由此产生的模型可用于推导其他一系列的利息，如违约概率和信用利差。
创建跳跃-扩散模型
跳跃扩散模型是基于标准的几何布朗运动扩散模型。一个GBM模型有两个参数漂移(平均趋势)和扩散(挥发性)的过程。这些参数可用于对给定价格序列(P_{t}\)的连续复合(log)收益\(R_{t}\)的分布建模:
\ [R_t ={\文本日志}{}\压裂{P_ {t +∆t}} {P_t} \ sim N \ Biggl(\离开(μ- \压裂{σ^ 2}{2}\右)∆t,σ^ 2∆t \ Biggr), \]
其中\(∆t\)为时间增量，\(μ\)为漂移参数，\(σ\)为扩散参数。该模型假设对数收益为正态分布，均值((μ - {σ^2\ / 2})∆t\)，方差(σ^2∆t\)。
我们的跳跃扩散模型通过引入随机跳跃扩展了GBM模型。跳跃\(J_{k}\)是一个i.i.d log正态随机变量序列:\(\text{log} J_{k}\ sim N(μ_J，σ_J^2) \)。采用泊松过程(N_{t}\)和速率(λ\)来描述跳跃的到达。时间序列模型的动态结果为:
\ [R_t ={\文本日志}{}\压裂{P_t} {P_0} = \离开(μ- \压裂{σ^ 2}{2}\右)t +σW_t + \ sum_ {k = 0} ^ {N_t}{日志}J_k \ \文本,\]
其中\(W_{t}\)是一个Wiener进程。为了从数值上估计模型，我们在时间间隔上离散这个连续时间方程\(t,t +∆t]\)。我们假设时间增量\(∆t\)使得\(t,t +∆t]\)中发生不止一次跳跃的概率可以忽略不计。
与所有复杂的数学模型一样，跳跃-扩散模型也存在一些计算上的挑战——例如实现收敛——并且需要对优化过程进行仔细的分析。利用MATLAB，可以用最小的编码直观地表示方程;稳健估计模型参数;并跟踪收敛的优化程序。
模型参数估计
有五个模型参数需要估计:
- \(μ) - GBM分量的漂移参数
- \(σ\) - GBM组分的扩散参数
- (λ\) -泊松过程中跳跃的到达率
- \(μ_j\) -用于跳转大小的lognormal位置参数
- (σ_j\) -用于跳跃大小的对数正态尺度参数
我们可以直接从可用的时间序列数据估计后三个参数(假设公司的潜在市场价值表现出与可观察市值相似的特征)。我们可以使用findchangepts函数在Signal Processing Toolbox中自动识别序列中发生突变的点(图2)。在金融时间序列中，当序列的均值或标准差发生显著变化时，我们预计会发生结构性变化。在研究金融危机时期或其他高波动性时期时，寻找标准差变化的点尤其重要。
图2。用平均值的突变表示的变化点。
估计是基于Black-Scholes/Merton模型，其中\(μ)是\(σ\)的函数。为了进行优化，我们使用大中型企业函数执行最大似然估计，指定负对数似然函数和参数边界约束作为输入。似然函数的值最终由一个未知参数决定，\(σ\)。由于市场价值是不可观测的，我们通过将跳跃扩散模型拟合到观测到的市场资本序列，并对市场价值序列产生一个初始估计来开始估计过程。使用这个初始估计，我们迭代地应用这个过程，直到参数值稳定下来。
在隐含市场价值和债务模型中，一个公司的价值被分为资产和资产。资产归股权持有者所有，资产归债权人所有。当债务到期时，如果资产足以偿还债务，那么超额的价值将归股权持有人所有。否则，股权持有人将一无所获。
债务的价值相当于持有无风险债务加上资产价值的看跌期权:如果资产足以偿还债务，那么债务持有人将获得全部债务价值。如果资产不足以偿还负债，那么债权人将获得资产的全部价值。就债务可能无法全部偿还的程度而言，它被认为是有风险的。债券持有人持有高风险债券，以信用价差高于无风险利率的形式获得看跌期权溢价。
资产价值满足一个包含市值和风险债务价值的隐式方程，而风险债务又是资产价值和其他变量(如无风险利率)的函数。在最大似然估计过程中，我们使用fzero在MATLAB函数。收敛后，我们在候选解点的邻域内绘制负对数似然函数，以验证局部极小点的识别大中型企业(图3)。
图3。解点周围小邻域的对数似然曲线。
推断市场价值
拟合模型后，我们可以利用它来推断资产的潜在市场价值和相关的数量，如资产的隐性看跌期权的价值和资产的杠杆率。图4显示了这些时间序列。正如预期的那样，我们看到看跌期权的价值随着市值和推断出的资产市值的下降而迅速增加。衡量价值与债务比率的杠杆也会随着资产价值的下降而增加。
图4。从跳跃扩散模型推断资产数量。
开发并实现了一个估计跳扩散模型参数的程序，我们可以使用MATLAB Live Editor与同事分享结果，作为一个实时脚本。这个过程可以应用于代表不同资产和资产类别的各种时间序列。潜在的应用范围是广泛的，因为许多不同的金融系列在危机时期和市场高度不确定性时期显示出跳跃。
