定义资产的宇宙

该dowPortfolio.xlsx数据集包括30个资产和一个基准。从这个数据集七个资产包括在这个例子中，投资宇宙。无风险利率被认为是零。

T = readtable（'dowPortfolio.xlsx'）;

定义资产宇宙和提取从价格数据的资产回报。

assetNames = [“AA”，“AIG”，“WMT”，“MSFT”，“BA”，“GE”，“IBM”]。benchmarkName =“道指”;头（T（：，[“日期”benchmarkName assetNames]））

ANS =8×9表日期DJI AA AIG WMT MSFT BA GE IBM ___________ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 03-JAN-2006 10847 28.72 68.41 44.9 26.19 68.63 33.6 80.13 04-JAN-2006 10880 28.89 68.51 44.99 26.32 69.34 33.56 80.03 05-JAN-2006 1088229.12 44.38 68.6 68.53 26.34 80.56 33.47 06-JAN-2006 10959 29.02 68.89 44.56 26.26 67.57 82.96 33.7 09-JAN-2006 11012 29.37 68.57 44.4 26.21 67.01 33.61 81.76 10-JAN-2006 11012 28.44 69.18 44.54 26.35 67.33 33.43 82.1 11-Jan-2006年11043 28.05 45.23 69.6 26.63 68.3 33.66 82.19 12-JAN-2006 10962 27.68 69.04 44.43 26.48 67.9 33.25 81.61

retnsT = tick2ret（T（：，2：结束））;assetRetns = retnsT（:, assetNames）;benchRetn = retnsT（:,“道指”）;numAssets =尺寸（assetRetns，2）;

指定市场的意见

的观点代表了投资分析师的主观意愿对未来市场的变化，表现为 $\mathit{q}=\mathit{P}*\mu +\epsilon ，\epsilon 〜\mathit{ñ}（0，\Omega ），\Omega =\mathrm{诊断}（{\omega }_1，{\omega }_2，。。。{\omega }_{\mathit{v}}）$，其中v是总的观看次数。欲了解更多信息，请参见附录部分假设和意见。同v意见和ķ资产， $\mathit{P}$是v-通过-ķ矩阵， $\mathit{q}$是v×1向量，以及 $\Omega$是v-通过-v对角矩阵（表示在视图中的独立的不确定性）。该观点并不一定需要是相互间独立的结构 $\Omega$可以选择账户中的意见投资分析师的不确定性[4]。越小 ${\omega }_{\mathit{一世}}$在 $\Omega$在的分布较小的方差一世日视图和更强以上某些投资者的一世个视图。这个例子假设三个独立意见。

V = 3;％的总3次P =零（V，numAssets）;Q =零（V，1）;欧米茄=零（V）;％1查看P（1，assetNames ==“AIG”）= 1;Q（1）= 0.05;欧米茄（1，1）= 1E-3;％2查看P（2，assetNames ==“WMT”）= 1;Q（2）= 0.03;欧米茄（2,2）= 1E-3;％3查看P（3，assetNames ==“MSFT”）= 1;P（3，assetNames ==“IBM”）= -1;Q（3）= 0.05;欧米加（3,3）= 1E-5;

可视化以表格形式的三个视图。

viewTable = array2table（[P q DIAG（欧米茄）]'VariableNames'[assetNames“View_Return”“View_Uncertainty”]）

viewTable =3×9表AA AIG WMT MSFT BA GE IBM View_Return View_Uncertainty __ ___ ___ ____ __ ___ ___________ ________________ 0 1 0 0 0 0 0 0.05 0.001 0 0 1 0 0 0 0 0.03 0.001 0 0 0 1 0 0 -1 0.05 1E-05

因为从回报dowPortfolio.xlsx数据集的日收益和观点上的年回报率，你必须转换的观点是日常的回报。

bizyear2bizday =252分之1;Q = Q * bizyear2bizday;欧米茄=欧米茄* bizyear2bizday;

从历史资产收益估计协方差

$\Sigma$是历史资产收益率的协方差。

西格玛= COV（assetRetns.Variables）;

定义不确定性C

黑-Litterman模型使得假定的结构 $\mathit{C}$正比于协方差 $\Sigma$。因此， $\mathit{C}=\tau \Sigma$，其中 $\tau$是一个很小的常数。较小 $\tau$表示事先信念，较高的信心 $\mu$。他和Litterman的工作使用的0.025的值。其他作者建议使用1 /ñ哪里ñ是的数据点的数量用来生成协方差矩阵[3]。此示例使用1 /ñ。

tau蛋白= 1 /大小（assetRetns.Variables，1）;C = tau蛋白*西格玛;

市场隐含收益均衡

在没有任何意见，平衡返回很可能等于从平衡组合保持隐含的回报。在实践中，适用的平衡投资组合控股可以是任何的最优投资组合，投资分析人员在没有诸如投资组合基准，索引，甚至目前的投资组合[市场上的补充意见，使用2]。在这个例子中，你用线性回归找到一个市场组合跟踪的基准DJI的回报。然后，使用市场组合，作为平衡投资组合和平衡收益从市场组合暗示。该findMarketPortfolioAndImpliedReturn功能，在所定义本地函数，实现了平衡的回报。这个函数的历史资产收益率和基准回报率作为输入和输出的市场组合和对应的隐含收益。

[wtsMarket，PI] = findMarketPortfolioAndImpliedReturn（assetRetns.Variables，benchRetn.Variables）;

计算估计的平均回报和协方差

使用 $\mathit{P}，\mathit{q}，\Omega ，\pi ，$和 $\mathit{C}$输入使用Black-Litterman模型来计算所述混合资产回报和方差。

你可以计算 $\stackrel{-}{\mu }$和 $\mathrm{COV}（\mu ）$直接通过使用该矩阵运算：

$\stackrel{-}{\mu }={\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}\right]}^{-1}\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{q}+{\mathit{C}}^{-1}\pi \right]$， $\mathrm{COV}（\mu ）={\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}\right]}^{-1}$

mu_bl =（P '*（欧米茄\ P）+ INV（C））\（C \ PI + P' *（欧米茄\ Q））;cov_mu = INV（P'*（欧米茄\ P）+ INV（C））;

比较从黑Litterman模型的预期回报的前信念混合预期收益 $\pi$，你会发现，从黑Litterman模型的预期收益的确是前两者的信念和投资者意见的混合物。例如，如示于下表中，在现有的信念承担MSFT和IBM类似的回报，但在共混预期回报，MSFT具有由超过4％比IBM更高的回报。这种差异是由于实行强烈认为MSFT 5％胜过IBM。

表（assetNames'，PI * 252，mu_bl * 252'VariableNames'[“ASSET_NAME”，...“Prior_Belief_of_Expected_Return”，“Black_Litterman_Blended_Expected_Return”]）

ANS =7×3表ASSET_NAME Prior_Belief_of_Expected_Return Black_Litterman_Blended_Expected_Return __________ _____________________ _______________________________________ “AA” 0.19143 0.19012 “AIG” 0.14432 0.13303 “WMT” 0.15754 0.1408 “MSFT” 0.14071 0.17557 “BA” 0.21108 0.2017 “GE” 0.13323 0.12525 “IBM” 0.14816 0.12877

投资组合优化及结果

该投资组合对象在金融工具箱™实现了马科维茨均值方差组合优化框架。用一个投资组合对象，你可以找到有效的投资组合对于给定的风险或收益水平，你也可以最大限度的夏普比率。

用estimateMaxSharpeRatio与投资组合目的是找到具有最大夏普比率为以下组合分配：

端口=组合（'NumAssets'，numAssets，'磅'，0，'预算'1，'名称'，“均值方差”）;端口= setAssetMoments（端口，平均（assetRetns.Variables），Sigma公司）;WTS = estimateMaxSharpeRatio（端口）;portBL =组合（'NumAssets'，numAssets，'磅'，0，'预算'1，'名称'，“均值方差与黑Litterman”）;portBL = setAssetMoments（portBL，mu_bl，西格玛+ cov_mu）;wtsBL = estimateMaxSharpeRatio（portBL）;AX1 =副区（1,2,1）;IDX = WTS> 0.001;饼（AX1，WTS（IDX），assetNames（IDX））;标题（AX1，port.Name，'位置'[-0.05，1.6，0]）;AX2 =副区（1,2,2）;idx_BL = wtsBL> 0.001;饼（AX2，wtsBL（idx_BL），assetNames（idx_BL））;标题（AX2，portBL.Name，'位置'[-0.05，1.6，0]）;

表（assetNames'，WTS，wtsBL，'VariableNames'[“ASSETNAME”，“Mean_Variance”，...“Mean_Variance_with_Black_Litterman”]）

ANS =7×3表ASSETNAME Mean_Variance Mean_Variance_with_Black_Litterman _________ _____________ __________________________________ “AA” 1.9677e-14 0.1115 “AIG” 1.7967e-15 0.23314 “WMT” 6.1761e-16 0.098048 “MSFT” 0.059393 0.15824 “BA” 0.32068 0.10748 “GE” 2.2324e-13 0.1772“IBM“0.61993 0.11439

当您使用值混合资产收益率和在均值 - 方差最优化的黑Litterman模型的协方差，最优分配直接反映投资分析师的意见。从黑Litterman模型的分配被更多样化，作为饼图显示。此外，在黑Litterman模型的资产中的权同意投资分析师的看法。例如，当你比较平淡均值 - 方差最优化结果的黑Litterman结果，你可以看到黑Litterman结果更投入巨资MSFT高于IBM。这是因为投资分析师有强烈认为MSFT将超越IBM。

本地函数

功能[wtsMarket，PI] = findMarketPortfolioAndImpliedReturn（assetRetn，benchRetn）％找到市场组合跟踪基准和其对应的隐含的预期收益。

隐含的回报率是通过反向计算的优化。无风险利率被认为是零。投资组合优化的一般配方是由马科维茨优化问题给出的： $$\underset{\omega }{\mathrm{ARG}\mathrm{最大}}{\omega }^{Ť}\mu -\frac{\delta }{2}{\omega }^{Ť}\Sigma \omega$$。这里 $$\omega$$是一个ñ资产权重的矢量 - 元素， $$\mu$$是一个ñ预期资产回报的 - 元素矢量， $$\Sigma$$是个ñ-通过-ñ协方差资产回报的矩阵，并且 $$\delta$$是一个积极的风险厌恶参数。特定 $\delta$，在没有约束的，封闭形式的解决这个问题是 $$\omega =\frac{1}{\delta }{\Sigma }^{-1}\mu$$。因此，与市场组合，隐含的预期收益 $$\pi =\delta \Sigma {\omega }_{米ķŤ}$$。有关计算与约束（例如预算约束）的隐含回报率的更多信息，请参阅赫罗尔德的工作[五]。

要计算一个隐含的预期收益，则需要 $$\Sigma ，{\omega }_{米ķŤ}，\delta$$。

1）找到 $$\Sigma$$。

$$\Sigma$$从历史的资产回报计算。

西格玛= COV（assetRetn）;

2）找到市场投资组合。

要找到市场组合，对DJI倒退。加约束是完全投资和长期只： $$\underset{\mathrm{一世}=1}{\overset{ñ}{\Sigma }}{\omega }_{\mathrm{一世}}=1，0\le {\omega }_{\mathrm{一世}}，\forall \mathrm{一世}\in \{1，。。。，ñ\}$$

numAssets =尺寸（assetRetn，2）;LB =零（1，numAssets）;AEQ =一（1，numAssets）;BEQ = 1;OPTS = optimoptions（'lsqlin'，'算法'，“内点”，'显示'，“关”）;wtsMarket = lsqlin（assetRetn，benchRetn，[]，[]，AEQ，贝克，LB，[]，[]，OPTS）;

3）查找 $$\delta$$。

乘双方 $$\pi =\delta \Sigma {\omega }_{米ķŤ}$$同 $${\omega }_{米ķŤ}^{Ť}$$输出 $$\delta =\frac{\mathrm{小号}H\mathrm{一个}\mathrm{[R}pË\mathrm{[R}\mathrm{一个}Ť\mathrm{一世}Ø}{{\sigma }_{米}}$$。这里，假设基准被最大化夏普比率和对应的值被用作市场夏普比率。或者，也可以进行校准以年率夏普比率为0.5，这导致SHPR= 0.5 /开方（252）[1]。 $${\sigma }_{米}$$是市场投资组合的标准差。

SHPR =平均值（benchRetn）/ STD（benchRetn）;增量= SHPR / SQRT（wtsMarket'*西格玛* wtsMarket）;

4）计算隐含的预期收益。

假设市场组合最大化夏普比率，隐含的回，在不脱离约束的影响，被直接计算为 $$\pi =\delta \Sigma \omega$$[五]。

PI =Δ·西格玛* wtsMarket;结束

附录：黑色-Litterman模型的贝叶斯下一个框架

假设和意见

假设投资宇宙是由ķ资产和资产收益的矢量 $\mathit{[R}$被建模为随机变量，以下一个多元正态分布 $\mathit{[R}〜\mathit{ñ}（\mu ，\Sigma ）$。 $\Sigma$从历史资产收益率的协方差。未知模型参数是预期收益 $\mu$。从贝叶斯统计的角度来看，布莱克 - Litterman模型试图估计 $\mu$通过组合投资分析师观点（或“未来的意见”）和对一些先验知识 $\mu$。

此外，假定事先知道 $\mu$是正态分布的随机变量 $\mu 〜\mathit{ñ}（\pi ，\mathit{C}）$[1,2]。在不存在任何次（观测）的，先验均值 $\pi$很可能是均衡的回报，从平衡投资组合控股暗示。在实践中，适用的平衡投资组合持有并不一定是平衡的投资组合，而是一个目标的最优投资组合，投资分析人员在没有诸如投资组合基准，索引，或者即使是目前市场上的补充意见，使用投资组合。 $\mathit{C}$表示在现有和黑Litterman模型的不确定性使得假设的结构 $\mathit{C}$是 $\tau \Sigma$。 $\tau$是一个很小的常数，许多作者用不同的值。有关详细讨论 $\tau$可以在[找到3]。

观察是必要的，在执行统计推断 $\mu$。在布莱克 - Litterman模型，观察约在组合层面表达未来资产收益的看法。视图是由宇宙中的一个投资组合的预期收益ķ资产。通常情况下，投资组合回报具有一定不确定性，所以误差项添加到赶离场。假设有一个总的v观点。对于视图 $\mathit{一世}$， ${\mathit{p}}_{\mathit{一世}}$是具有尺寸1×行向量ķ和 ${\mathit{q}}_{\mathit{一世}}$是一个标量[2]。

${\mathit{q}}_{\mathit{一世}}$= ${\rm E}\left[{\mathit{p}}_{\mathit{一世}}*\mathit{[R}|\mu \right]+{\epsilon }_{\mathit{一世}}，\mathit{一世}=1，2，。。。，\mathit{v}$

可以叠加的v意见垂直和 $\Omega$从所有视图的不确定性的协方差。假设不确定性是独立的。

$\mathit{q}={\rm E}\left[\mathit{P}*\mathit{[R}|\mu \right]+\epsilon ，\epsilon 〜\mathit{ñ}（0，\Omega ），\Omega =\mathrm{诊断}（{\omega }_1，{\omega }_2，。。。{\omega }_{\mathit{v}}）$。

注意 $\Omega$并不一定需要是一个对角矩阵。投资分析师可以选择的结构 $\Omega$考虑到他们的意见不确定性[4]。

根据以前的假设 $\mathit{[R}〜\mathit{ñ}（\mu ，\Sigma ）$， 它遵循

$\mathit{q}=\mathit{P}*\mu +\epsilon ，\epsilon 〜\mathit{ñ}（0，\Omega ），\Omega =\mathrm{诊断}（{\omega }_1，{\omega }_2，。。。{\omega }_{\mathit{v}}）$。

黑-Litterman模型的贝叶斯定义

基于贝叶斯统计，可知： $\mathrm{后}\alpha \mathrm{可能性}*\mathrm{先}$。

在黑Litterman模型的背景下， $\mathrm{后}\alpha \mathrm{可能性}*\mathrm{先}$表示为 $\mathit{F}（\mu |\mathit{q}）$ $\alpha$ $\mathit{F}（\mathit{q}|\mu ）$* $\mathit{F}（\mu ），$其中每个贝叶斯术语被定义如下[2]：

如前所述，的后验分布 $\mu$也是一个正态分布。通过配方法，可以派生后均值和方差为 $\stackrel{-}{\mu }={\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}\right]}^{-1}\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{q}+{\mathit{C}}^{-1}\pi \right]$， $\mathrm{COV}（\mu ）={\left[{\mathit{P}}^{\mathit{Ť}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}\right]}^{-1}$。

最后，通过结合贝叶斯后验分布 $\mu$和资产收益的模型 $\mathit{[R}〜\mathit{ñ}（\mu ，\Sigma ）$，你再有资产收益的预测后作为 $\mathit{[R}〜\mathit{ñ}（\stackrel{-}{\mu }，\Sigma +\mathrm{COV}（\mu ））$。

参考