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polyeig

多项式特征值问题

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E = Polyeg（A0，A1，...，AP）
[X, e] = polyeig (A0, A1,…,美联社)
[x，e，s] = polyeg（a0，a1，...，ap）

描述

例子

e= polyeig (A0，A1，...，AP)属性的特征值多项式特征值问题学位p。

例子

(X,e] = Polyeg（A0，A1，...，AP)也返回矩阵X，大小n-通过-n * p，其列是特征向量。

例子

(X,e,年代] = Polyeg（A0，A1，...，AP)另外返回载体年代的长度P * N.，包含特征值的条件号。至少有一个A0和美联社必须满秩。大的条件数意味着这个问题接近于一个具有重复特征值的问题。

例子

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解一个包含质量矩阵的二次本征值问题米，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。这个二次特征值问题来自于运动方程:

米 d 2 y d t 2 + C d y d t + K y = f ( t )

该等式适用于广泛的振荡系统，包括动态质量弹簧系统或RLC电子网络。基本解决方案是 y ( t ) = x e λ. t ,因此两 λ. 和x必须解决二次特征值问题（QEP），

( 米 λ. 2 + C λ. + K ) x = 0

创建系数矩阵米,C，和K来表示一个有四个自由度的质量-弹簧系统。系数矩阵都是对称的半正定的米是一个对角线矩阵。

m = diag（[3 1 3 1]）
M =4×4.3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1
C = [0.4 0 -0.3 0;0 0 0 0;-0.3 0 0.5-0.2;0 0 -0.2 0.2]
C =4×4.0.4000 0 -0.3000 000 000 -0.3000 0 0.5000 -0.2000 00 -0.2000 0.2000
K = [-7 2 4 0;2 -4 2 0;4 2 -9 3;0 0 3 3]
k =4×4.-7 2 4 0 2 -4 2 0 4 2 -9 3 0 0 3 -3

解决特征值，特征向量和条件号的QEPpolyeig。

[x，e，s] = polyeg（k，c，m）
X =4×80.1828 0.3421 0.3989 -0.0621 0.3890 -0.4143 0.4575 -0.4563 0.3530 -0.9296 0.3330 0.8571 -0.6366 -0.2717 0.4981 -0.4985 -0.5360 -0.0456 -0.1724 -0.3509 -0.3423 0.1666 0.5106 -0.5107 0.7448 0.1295 -0.8368 0.3720 0.5712 0.8525 0.5309 -0.5315
E =8×1-2.4498 -2.1536 -1.6248 2.2279 2.0364 1.4752 0.3353 -0.3466
S =8×10.5813 0.8609 1.2232 0.7855 0.7012 1.2922 10.1097 10.0519

检查第一个特征值，e（1），第一个特征向量，x（：1），满足QEP方程。结果接近于零，但不完全是零。

λ= e (1);x = x (: 1);(M*²+ C* + K)*x
ans =4×110-14年×-0.2665 0.2442 0.1776 -0.0222

输入参数

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平方系数矩阵，指定为单独的参数。这些矩阵必须有相同的顺序，n。

数据类型:单|双
复数的支持:万博1manbetx是的

输出参数

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特征值，作为向量返回。

特征向量，在矩阵的列中返回。第一个特征向量是x（：1），第二个是X（:,2）等等。

条件数，作为向量返回。条件编号年代对应于中相似位置的特征值e。大的条件数字表明问题是接近具有重复的特征值。

更多关于

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多项式特征值问题

多项式特征值问题是标准特征值问题的变种，一个x=λx，但反而涉及多项式而不是线性术语。

与标准特征值问题一样，解决方案涉及到找到满足方程的特征值和特征向量，

( 一个 0 + λ. 一个 1 + … + λ. P 一个 p ) x = 0 ,

多项式程度，p，是一个非负整数，并且A0, A1,美联社平方系数矩阵是有序的吗n。

最常见的形式是The二次多项式特征值问题，即

( 一个 2 λ. 2 + 一个 1 λ. + 一个 0 ) x = 0 。

二次特征值问题和标准(或广义)特征值问题的一个主要区别是可以有多达2 n特征值达到2 n左右特征向量。在有更多的情况下n特征向量，特征向量并不是一个线性独立的集合，见[1]和[2]有关二次特征值问题的详细信息。

提示

  • polyeig处理以下简化案例：

    • p = 0.,或polyeig (A)，为标准特征值问题，EIG（a）。

    • p = 1,或Polyeg（A，B），为广义特征值问题，eig (A - b)。

    • n = 0,或polyeig (a0, a1,…,美联社)，是标准多项式问题，根([美联社……a1 a0]),在那里A0，A1，...，AP是标量。

算法

的polyeig函数使用QZ因子化来查找中间导致广义特征值的计算。polyeig使用中间结果来确定特征值是否确定。查看描述eig和求出为更多的信息。

计算出的解决方案可能不存在万博 尤文图斯，或者是唯一的，而且计算上也可能不准确。如果两个A0和美联社是奇异矩阵，那么问题可能是不适定的。如果其中一个A0和美联社是奇异的，那么一些特征值可能是0要么INF.。

扩展A0，A1，...，AP有规范(Ai)大致等于1可能会增加…的准确性polyeig。然而，一般来说，这种提高的准确性是无法实现的。(见Tisseur[3]有关详细信息）。

参考资料

[1] Dedieu, Jean-Pierre和Francoise Tisseur。齐次多项式特征值问题的摄动理论。线性代数。卷。358,2003，第71-94页。

[2] Tisseur, Francoise和Karl Meerbergen。“二次特征值问题。”暹罗rev.卷。43，第2,201,2001，第235-286页。

[3] Francoise Tisseur。“多项式特征值问题的后向误差和条件。”线性代数。第309卷，2000年，第339-361页。

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