不确定模型的建立与操作

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™建立不确定状态空间模型和分析不确定元素反馈控制系统的鲁棒性。

我们将展示如何指定不确定的物理参数，并从这些参数创建不确定的状态空间模型。您将看到如何使用这些函数评估随机和最差情况参数变化的影响usample和罗布斯塔布．

双车弹簧系统

在本例中，我们使用以下系统，该系统由两个由弹簧连接的无摩擦小车组成K:

图1：两车弹簧系统。

控制输入是力u1适用于左边的推车。要控制的输出是位置y1右侧购物车的。反馈控件的形式如下：

$U_{1.} = C (s) (R - Y_{1.})$

此外，我们使用三线补偿器：

$C (s) = 1. 00 (s + 1.)^{3.} / (0 ． 00 1. s + 1.)^{3.}$

我们使用下面的代码创建这个补偿器:

s=zpk('s'）;%拉普拉斯变量C=100*ss（（s+1）/（0.001*s+1））^3；

框图模型

两车和弹簧系统的模型如下图所示。

图2：二车及弹簧模型框图。

不确定的实际参数

控制手推车的问题因弹簧常数的值而变得复杂K和车质量m1，m2只有20%的准确性: $K = 1. ． 0 \pm 2. 0 %$ , $M 1. = 1. ． 0 \pm 2. 0 %$ , $M 2. = 1. ． 0 \pm 2. 0 %$ ．为了捕获这种可变性，我们将使用尿素的功能：

k=尿素(“k”,1，“百分比”,20); m1=尿素(“m1”,1，“百分比”, 20);m2 =尿素的(“平方米”,1，“百分比”, 20);

不确定Cart模型

我们可以将购物车模型表示如下:

$G_{1.} (s) = \frac{1.}{M_{1.} s^{2.}}, G_{2.} (s) = \frac{1.}{M_{2.} s^{2.}}$

给定不确定参数m1和平方米，我们将为G1和G2构建不确定状态空间模型（USS），如下所示：

G1 = 1 / s ^ 2 / m1;G2 = 1 / s ^ 2 /平方米;

闭环系统的不确定模型

首先，我们将构建一个植物模型P对应于上面所示的框图(P将u1映射到y1):

%无弹簧内块F(s)F=[0；G1]*[1-1]+[1；-1]*[0，G2]

F = 2输出2输入4状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性包含以下模块:m1:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m2:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1事件类型“F.NominalValue”的名义价值,“把(F)”所有属性,和“F.Uncertainty”与不确定的交互元素。

连接弹簧k

P =融通(F, k)

P=具有1个输出、1个输入、4个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成：k：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]、1次出现m1：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]、1次出现m2：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]%，1.键入“P.NominalValue”查看标称值，“get（P）”查看所有属性，键入“P.Undefinance”与不确定元素交互。

反馈控制u1=C*（r-y1）在设备上运行P如下图所示：

图3:闭环系统的不确定模型。

我们将使用反馈函数来计算从r到y1的闭环传递。

%研究了不确定开环模型L=P*C

L =不确定连续时间状态空间模型，具有1个输出，1个输入，7个状态。k:不确定的真实，名义= 1，变异性=[-20,20]%，1个事件m1:不确定的真实，名义= 1，变异性=[-20,20]%，1个事件m2:输入“L. nominalvalue”查看名义值，“get(L)”查看所有属性，“L. uncertainty”与不确定元素相互作用。

从r到y1的不确定闭环传递是

T =反馈(L, 1)

T=具有1个输出、1个输入、7个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成：k：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]、1次出现m1：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]、1次出现m2：不确定真实、标称=1、可变性=[-20,20]%，1输入“T.NominalValue”查看标称值，“get（T）”查看所有属性，输入“T.Undefinance”与不确定元素交互。

注意,因为G1和G2两者都不确定P和T为不确定状态空间模型。

提取标称设备

设备的标称传递函数为

Pnom = zpk (P.nominal)

Pnom = 1  ------------- s ^ 2 (s ^ 2 + 2)连续时间零/钢管/增益模型。

标称闭环稳定

接下来，我们评估标称闭环传递函数Tnom，然后检查标称系统的所有极点都有负实部:

Tnom=zpk（T.标称）；maxrealpole=max（真实（极点（Tnom）））

maxrealpole = -0.8232

鲁棒稳定性裕度

对于所有可能的值，反馈循环是否保持稳定k, m1, m2在指定的不确定度范围内?我们可以使用罗布斯塔布函数严格地回答这个问题。

%显示报告和计算灵敏度选择= robOptions (“显示”,“开”,“敏感”,“开”）;[StabilityMargin, wcu] = robstab (T,选择);

计算峰值…完成百分比：100/100系统对于建模不确定性是稳健稳定的。--它可以容忍高达288%的建模不确定性。--存在相当于289%的建模不确定性的失稳扰动。--该扰动导致频率575 rad/秒的不稳定性。--灵敏度对于每个不确定因素，k为12%。k增加25%会减少3%的利润率。m1增加25%会减少11.8%的利润率。m2增加25%会减少11.8%的利润率。m2增加25%会减少11.8%的利润率。

该报告表明，闭环可以承受高达三倍的变化k, m1, m2之前不稳定。它还提供了有关稳定性对各参数灵敏度的有用信息。的变量wcu包含最小的不稳定参数变化(相对于标称值)。

wcu

wcu =结构体字段:K: 1.5773 m1: 0.4227 m2: 0.4227

最坏情况性能分析

请注意闭环传输频率的峰值增益T指示闭环阶跃响应中的超调水平。该增益越接近1，超调越小。我们使用wcgain计算最坏情况下的增益PeakGain的T在规定的不确定度范围内。

[PeakGain，wcu]=wcgain（T）；PeakGain

PeakGain=结构体字段:LowerBound: 1.0475 UpperBound: 1.0732 CriticalFrequency: 6.8070

替换最坏情况下的参数变化wcu进入T来计算最坏情况的闭环传输Twc．

Twc=USUB（T，wcu）；最坏情况闭环转移

最后，从不确定参数的随机样本中选取相应的闭环传递与最坏情况传递进行比较Twc．

Trand = usample (T, 4);%不确定模型T的4个随机样本clf子地块（211），bodemag（Trand，“b”，Twc，“r”, {1000});%图博德反应子批次（212），步骤（Trand，“b”，Twc，“r”,0.2);%图阶跃响应

图4:波德图和阶跃响应。

在这个分析中，我们看到补偿器C对k,m1,m2上的指定不确定性具有鲁棒性。

另见

罗布斯塔布|尿素的|号航空母舰|篡夺|wcgain

鲁棒控制工具箱文档

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