设置多变量回归问题

响应矩阵

使用多变量线性回归模型使用mvregress.，您必须以特定方式设置响应矩阵和设计矩阵。给定适当格式化的输入，mvregress.可以处理各种多元回归问题。

mvregress.期待N观察可能相关的D.- 在一个中的决定反应N-经过-D.矩阵，命名y，例如。也就是说，设置您的响应，以便依赖结构在观察中相同排．如果您指定y作为长度的矢量N（无论是行还是列向量），那么mvregress.假设D.= 1，并将元素视为N独立观察。它确实如此不是模型矢量作为一个相关系列的一个实现（例如时间序列）。

为了说明如何设置响应矩阵，假设您的多变量响应是在多个时间点的对象上进行的重复测量，如下图所示。

假设主题内的观察结果相关。

在这种情况下，设置响应矩阵y这样，每行对应于对象，并且每列对应于时间点。

然后，假设在同一时间同时对受试者进行的观察结果（并发相关）。

在这种情况下，设置响应矩阵y这样，每行对应于时间点，并且每个列对应于对象。

设计矩阵

在多变量线性回归模型中，每个D.- 二维响应具有相应的设计矩阵。根据模型，设计矩阵可能由外源性预测变量，虚拟变量，滞后的响应或这些和其他协变量的组合组成。

如果D.> 1和所有D.尺寸具有相同的设计矩阵，然后指定一个N-经过-P.设计矩阵，在哪里P.是预测变量的数量。要确定每个维度的截距，请向设计矩阵添加一列。在这种情况下，mvregress.将设计矩阵应用于所有D.方面。
如果D.> 1和所有D.尺寸没有相同的设计矩阵，然后使用长度指定设计矩阵 -N细胞阵列D.-经过-K.阵列，命名X，例如。K.是模型中的回归系数总数。请注意阵列的行X对应于响应矩阵的列，y．

我摔倒N观察有相同的设计矩阵，可以指定包含一个的单元数组D.-经过-K.设计矩阵。在这种情况下，mvregress.将设计矩阵应用于所有N观察。例如，如果预测器是时间的函数，则可能出现这种情况，并且在同一时间点测量所有观察。
在特殊情况下D.= 1，您可以指定一个N-经过-K.设计矩阵（不是单元阵列）。但是，你应该考虑使用Fitlm.将回归模型适合单变量，连续响应。

以下部分说明了如何建立一些常见的多变量回归问题进行估计mvregress.．

多变量一般线性模型

多变量一般线性模型是表单

$y_{N \times D.} = X_{N \times （ P. + 1 ）} {B.}_{（ P. + 1 ） \times D.} + {E.}_{N \times D.} ．$

以扩展形式，

$[\begin{array}{l} y_{11.} y_{12.} \dots y_{1 D.} \\ y_{21.} y_{22.} \dots y_{2 D.} \\ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ y_{N 1} y_{N 2} \dots y_{N D.} \end{array}] = [\begin{array}{l} 1 X_{11.} X_{12.} \dots X_{1 P.} \\ 1 X_{21.} X_{22.} \dots X_{2 P.} \\ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ 1 X_{N 1} X_{N 2} \dots X_{N P.} \end{array}] [\begin{array}{l} β_{01.} β_{02.} \dots β_{0. D.} \\ β_{11.} β_{12.} \dots β_{1 D.} \\ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ β_{P. 1} β_{P. 2} \dots β_{P. D.} \end{array}] + [\begin{array}{l} {ε.}_{11.} {ε.}_{12.} \dots {ε.}_{1 D.} \\ {ε.}_{21.} {ε.}_{22.} \dots {ε.}_{2 D.} \\ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ {ε.}_{N 1} {ε.}_{N 2} \dots {ε.}_{N D.} \end{array}] ．$

也就是说，每个D.- 实证响应有拦截和P.预测变量，每个维度都有自己的回归系数。在这种形式中，最小二乘解b = x \ y．估计此模型的使用mvregress.，使用N-经过-D.响应矩阵，如上所述。

我摔倒D.尺寸具有相同的设计矩阵，使用N-经过-（P.+1）设计矩阵，如上所述。向其中添加一列P.预测变量计算每个维度的截距。

我摔倒D.尺寸没有相同的设计矩阵，重新格式化N-经过-（P.+ 1）设计矩阵到长度 -N细胞阵列D.-经过-K.矩阵。这里，K.=（P.+ 1）D.对于每个维度的拦截和斜坡。

例如，假设N= 4，D.= 3，和P.= 2（除截距之外的两个预测器术语）。这个数字显示如何格式化一世细胞阵列中的元素。

如果您愿意，您可以重塑K.- 1-1个系数向量返回A（P.+ 1）--by-D.估计后的矩阵。

要在模型参数上放置约束，请相应地调整设计矩阵。例如，假设前面示例中的三个维度具有共同的斜率。那是， $β_{11.} = β_{12.} = β_{13.} = β_{1}$ 和 $β_{21.} = β_{22.} = β_{23.} = β_{2} ．$ 在这种情况下，每个设计矩阵为3乘5，如下图所示。

纵向分析

在纵向分析中，您可能会衡量答案N主题D.时间点，在同一主题上的观察结果之间的相关性。例如，假设您测量响应y_IJ.有时T._IJ.那一世= 1，......，N和j= 1，......，D.．此外，假设每个受试者是由指示变量指定的两组（例如男性或女性）中的一个G_一世．你可以模型y_IJ.作为一个函数G_一世和T._IJ.，具体群体截取和斜坡，如下：

$y_{一世 j} = β_{0.} + β_{1} G_{一世} + β_{2} {T.}_{一世 j} + β_{3.} G_{一世} \times {T.}_{一世 j} + {ε.}_{一世 j} 那一世 = 1 那 ...... 那 N; j = 1 那 ...... 那 D. 那$

在哪里

${ε.}_{一世} = （ {ε.}_{一世 1} 那 ...... 那 {ε.}_{一世 D.} ）^{'} 〜 m V. N （ 0. 那 σ. ）．$

大多数纵向模型包括作为明确预测器的时间。

使用此模型使用mvregress.，安排答案N-经过-D.矩阵，其中N是受试者的数量和D.是时间点的数量。指定设计矩阵N- 长块阵列D.-经过-K.矩阵，在这里K.= 4对于四个回归系数。

例如，假设D.= 5（每个受试者的五次观察）。这一世对于指定模型的TH设计矩阵和相应的参数向量如下图所示。

面板分析

在面板分析中，您可以衡量响应和协调因子D.受试者（如个人或国家）N时间点。例如，假设您测量响应y_TJ.和协变量X_TJ.关于科目j= 1，......，D.有时T.= 1，......，N．一个固定效应面板模型，包含特定主题的固定效应和并发相关性，可能看起来像:

$y_{T. j} = {α.}_{j} + β X_{T. j} + {ε.}_{T. j} 那$

在哪里

${ε.}_{T.} = （ {ε.}_{T. 1} 那 ...... 那 {ε.}_{T. D.} ）^{'} 〜 m V. N （ 0. 那 σ. ）．$

与纵向模型相反，面板分析模型通常包括在每个时间点测量的协调因子，而不是使用时间作为显式预测器。

使用此模型使用mvregress.，安排答案N-经过-D.矩阵，使得每列对应于对象。指定设计矩阵N- 长块阵列D.-经过-K.矩阵，在这里K.=D.+ 1为D.截取和斜率术语。

例如，假设D.= 4（四个科目）。这T.图中示出了设计矩阵和相应的参数向量。

看似无关的回归

在一个看似无关的回归（sur），你的模型D.单独的回归，每个回归有其自己的拦截和斜率，而是一个常见的错误方差 - 协方差矩阵。例如，假设您测量响应y_IJ.和协变量X_IJ.对于回归模型j= 1，......，D.，和一世= 1，......，N观察，以适应每个回归。SUR模型可能看起来像：

$y_{一世 j} = β_{0. j} + β_{j} X_{一世 j} + {ε.}_{一世 j} 那$

在哪里

${ε.}_{一世} = （ {ε.}_{一世 1} 那 ...... 那 {ε.}_{一世 D.} ）^{'} 〜 m V. N （ 0. 那 σ. ）．$

该模型与多变量一般线性模型非常相似，除了它对每个维度具有不同的协变量。

使用此模型使用mvregress.，安排答案N-经过-D.矩阵，使得每列具有数据jTH回归模型。指定设计矩阵N- 长块阵列D.-经过-K.矩阵，在这里K.= 2D.为了D.拦截和D.连续下坡。

例如，假设D.= 3（三个回归）。这一世图中示出了设计矩阵和相应的参数向量。

矢量自动评级模型

var（P.）传染媒介自回归模型表达D.- 作为线性函数的实时序列响应P.落后D.- 从前一次的响应。例如，假设您测量响应y_TJ.时间序列j= 1，......，D.有时T.= 1，......，N．var（P.）模型可能看起来像：

$[\begin{array}{l} y_{T. 1} \\ y_{T. 2} \\ ⋮ \\ y_{T. D.} \end{array}] = [\begin{array}{l} C_{1} \\ C_{2} \\ ⋮ \\ C_{D.} \end{array}] + [\begin{array}{l} {φ.}_{11.}^{（ 1 ）} {φ.}_{12.}^{（ 1 ）} \dots {φ.}_{1 D.}^{（ 1 ）} \\ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ {φ.}_{D. 1}^{（ 1 ）} {φ.}_{D. 2}^{（ 1 ）} \dots {φ.}_{D. D.}^{（ 1 ）} \end{array}] [\begin{array}{l} y_{T. - 1 那 1} \\ y_{T. - 1 那 2} \\ ⋮ \\ y_{T. - 1 那 D.} \end{array}] + \dots + [\begin{array}{l} {φ.}_{11.}^{（ P. ）} {φ.}_{12.}^{（ P. ）} \dots {φ.}_{1 D.}^{（ P. ）} \\ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ \\ {φ.}_{D. 1}^{（ P. ）} {φ.}_{D. 2}^{（ P. ）} \dots {φ.}_{D. D.}^{（ P. ）} \end{array}] [\begin{array}{l} y_{T. - P. 那 1} \\ y_{T. - P. 那 2} \\ ⋮ \\ y_{T. - P. 那 D.} \end{array}] + [\begin{array}{l} {ε.}_{T. 1} \\ {ε.}_{T. 2} \\ ⋮ \\ {ε.}_{T. D.} \end{array}] 那$