integrateByParts

分部积分法

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语法

G = integrateByParts (F, du)

描述

例子

G= integrateByParts (F,杜)对积分应用分部积分F，其中的微分杜集成。有关更多信息，请参见分部积分法。

当指定积分时F，则可以返回未计算的积分形式int函数与“持有”选项设置为真。然后你可以使用integrateByParts展示分部积分的步骤。

例子

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打开生活的脚本

创建一个符号表达式F这是函数乘积的积分。

信谊u (x)v (x)F = int (u * diff (v))
F (x) =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            ∫
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 u
                               
                               
                                
                                 (
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                                
                                 )
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 
                                  ∂
                                
                                
                                 
                                  ∂
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   v
                                 
                                 
                                  
                                   (
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                  
                                  
                                   )
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                           
                            d
                           
                            
                             x
                           
                          
                         
                         
                          int (u (x) * diff (v (x) x), x)

应用分部积分法F。

g = integrateByParts (F, diff (u))
g =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                u
                              
                              
                               
                                (
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                               
                               
                                )
                              
                             
                             
                             
                             
                              
                               
                                v
                              
                              
                               
                                (
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                               
                               
                                )
                              
                             
                            
                           
                           
                            -
                           
                            
                             ∫
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  v
                                
                                
                                 
                                  (
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                 
                                  )
                                
                               
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   ∂
                                 
                                 
                                  
                                   ∂
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                
                                
                                
                                 
                                  
                                   
                                    u
                                  
                                  
                                   
                                    (
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                   
                                   
                                    )
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             d
                            
                             
                              x
                            
                           
                          
                         
                         
                          u(x)*v(x) - int(v(x)*diff(u(x)， x)
打开生活的脚本

对积分应用分部积分法 ∫ x 2 e x dx 。

定义积分int函数。显示结果而不计算积分，通过设置“持有”选项真正的。

信谊xF = int (x ^ 2 * exp (x)“持有”,真正的)
F =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            ∫
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                               
                                
                                 2
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 e
                               
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                            
                           
                           
                            d
                           
                            
                             x
                           
                          
                         
                         
                          int(x^2*exp(x)， x， 'Hold = TRUE'， TRUE)

要显示积分的步骤，请将分部积分应用于F和使用exp (x)作为要积分的微分。

G = integrateByParts (F, exp (x))
G =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                x
                              
                              
                               
                                2
                              
                             
                             
                             
                             
                              
                               
                                e
                              
                              
                               
                                x
                              
                             
                            
                           
                           
                            -
                           
                            
                             ∫
                            
                            
                             
                              
                               
                                2
                               
                               
                               
                                x
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  x
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             d
                            
                             
                              x
                            
                           
                          
                         
                         
                          int x ^ 2 * exp (x)——(2 * x * exp (x), x,持有= TRUE,真的)
                        
                       

                     
H = integrateByParts (G, exp (x))
H =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                x
                              
                              
                               
                                2
                              
                             
                             
                             
                             
                              
                               
                                e
                              
                              
                               
                                x
                              
                             
                            
                           
                           
                            -
                           
                            
                             
                              2
                             
                             
                             
                              x
                             
                             
                             
                              
                               
                                e
                              
                              
                               
                                x
                              
                             
                            
                           
                           
                            +
                           
                            
                             ∫
                            
                            
                             
                              
                               
                                2
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  x
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             d
                            
                             
                              x
                            
                           
                          
                         
                         
                          x ^ 2 * exp (x) - 2 * x * exp (x) + int (2 * exp (x), x,持有= TRUE,真的)

求积分H通过使用释放函数来忽略“持有”选择。

F1 =释放(H)
F1 =
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             2
                            
                            
                            
                             
                              
                               e
                             
                             
                              
                               x
                             
                            
                           
                          
                          
                           +
                          
                           
                            
                             
                              
                               x
                             
                             
                              
                               2
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               e
                             
                             
                              
                               x
                             
                            
                           
                          
                          
                           -
                          
                           
                            
                             2
                            
                            
                            
                             x
                            
                            
                            
                             
                              
                               e
                             
                             
                              
                               x
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                        
                         2*exp(x) + x^2*exp(x) - 2*x*exp(x)

方法返回的集成结果与int函数，而不设置“持有”选项真正的。

F2 = int (x ^ 2 * exp (x))
F2 =
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             e
                           
                           
                            
                             x
                           
                          
                          
                          
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                               
                                
                                 2
                               
                              
                              
                               -
                              
                               
                                
                                 2
                                
                                
                                
                                 x
                               
                              
                              
                               +
                              
                               2
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                        
                         exp(x)*(x^2 - 2*x + 2)
打开生活的脚本

对积分应用分部积分法 ∫ e 斧头 罪 ( bx ) dx 。

定义积分int函数。显示积分，而不是通过设置来求值“持有”选项真正的。

信谊x一个bF = int (exp (* x) *罪(b * x),“持有”,真正的)
F =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            ∫
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 e
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   一个
                                  
                                  
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 罪
                               
                               
                                
                                 (
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     b
                                    
                                    
                                    
                                     x
                                   
                                  
                                 
                                
                                
                                 )
                               
                              
                             
                            
                           
                           
                            d
                           
                            
                             x
                           
                          
                         
                         
                          int(exp((a*x))*sin(b*x)， x， 'Hold = TRUE'， TRUE)

要显示积分的步骤，请将分部积分应用于F和使用 u ′ ( x ) = e 斧头 作为要积分的微分。

G = integrateByParts (F, exp (* x))
G =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                   
                                   
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                
                               
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  罪
                                
                                
                                 
                                  (
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      b
                                     
                                     
                                     
                                      x
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                  )
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             
                              一个
                            
                           
                           
                            -
                           
                            
                             ∫
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  b
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    e
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      一个
                                     
                                     
                                     
                                      x
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    因为
                                  
                                  
                                   
                                    (
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        b
                                       
                                       
                                       
                                        x
                                      
                                     
                                    
                                   
                                   
                                    )
                                  
                                 
                                
                               
                              
                              
                               
                                一个
                              
                             
                            
                            
                             d
                            
                             
                              x
                            
                           
                          
                         
                         
                          (exp ((* x)) * sin (b * x)) / a - int ((b * exp ((* x)) * cos (b * x)) / a, x,持有= TRUE,真的)

求积分G通过使用释放函数来忽略“持有”选择。

F1 =释放(G)
F1 =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                   
                                   
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                
                               
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  罪
                                
                                
                                 
                                  (
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      b
                                     
                                     
                                     
                                      x
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                  )
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             
                              一个
                            
                           
                           
                            -
                           
                            
                             
                              
                               
                                b
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                   
                                   
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                
                               
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      一个
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        因为
                                      
                                      
                                       
                                        (
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            b
                                           
                                           
                                           
                                            x
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        )
                                      
                                     
                                    
                                   
                                   
                                    +
                                   
                                    
                                     
                                      b
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        罪
                                      
                                      
                                       
                                        (
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            b
                                           
                                           
                                           
                                            x
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        )
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             
                              
                               
                                一个
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      一个
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                   
                                    +
                                   
                                    
                                     
                                      b
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                         
                          (exp ((* x)) * sin (b * x)) / a - (b * exp ((* x)) * (* cos (b * x) + b * sin (b * x))) / (a * (a ^ 2 + ^ 2))

简化的结果。

F2 =简化(F1)
F2 =

                      

                       
                        
                         
                          
                           
                            -
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  e
                                
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                   
                                   
                                   
                                    x
                                  
                                 
                                
                               
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      b
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        因为
                                      
                                      
                                       
                                        (
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            b
                                           
                                           
                                           
                                            x
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        )
                                      
                                     
                                    
                                   
                                   
                                    -
                                   
                                    
                                     
                                      一个
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        罪
                                      
                                      
                                       
                                        (
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            b
                                           
                                           
                                           
                                            x
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        )
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  一个
                                
                                
                                 
                                  2
                                
                               
                               
                                +
                               
                                
                                 
                                  b
                                
                                
                                 
                                  2
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                         
                          ——(exp ((* x)) * (b * cos (b * x) - * sin (b * x))) / (a ^ 2 + ^ 2)

输入参数

全部折叠

包含积分的表达式，指定为符号表达式、函数、向量或矩阵。

例子:int (u * diff (v))

被积分的微分，指定为符号变量、表达式或函数。

例子:diff (u)

更多关于

全部折叠

分部积分法

在数学上，分部积分规则对不定积分的正式定义为

∫ u ” ( x ) v ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ( x ) v ” ( x ) d x

对于定积分

∫ 一个 b u ” ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( 一个 ) v ( 一个 ) − ∫ 一个 b u ( x ) v ” ( x ) d x 。

另请参阅

||||

介绍了R2019b

符号数学工具箱文档
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