最近,我在意大利已经从一个学生电子邮件。

我在做一个项目手眼标定。我发现,从镜头转换到世界,从爪和B,转换到基地。我想找转换从爪到相机。这是方程AX = XB的解决方案。你能解这个方程我什么建议吗?

之后,记者发现解决方案;矩阵只有4×4,有一个使用四元数的解析解。

但是一般的问题把我难住了。你怎么解决A * X = X *吗?方程是不适定的。在第2部分中,我将描述两个方法解决它。这两种方法都有严重的缺陷。首先,一些背景。

内容

非齐次西尔维斯特方程

标准、非齐次西尔维斯特方程涉及三个非零矩阵,一个,B,C。

* + X * B = C

这个方程是基本在控制理论和函数西尔维斯特(A, B, C)多年来一直是MATLAB的一部分。帮助条目西尔维斯特没有提到任何条件,除了兼容的维度,对吗一个,B,C。附近的文档西尔维斯特这是一句话:

方程有唯一解的特征值和- b是截然不同的。

如果我们故意违反这个条件了B是——“,我们发现炸毁的计算解决方案。让我们看看这个与矩阵

一个=画廊(3)

一个=

-25 -149 -50 -154 537 180 546 -27 9

它不是很明显,但是这个矩阵构建它的特征值是1,2,3。

e = eig (A)

e =

1.0000 2.0000 3.0000

现在解决西尔维斯特方程,故意违反的情况一个和- b没有任何共同的特征值。

X =西尔维斯特(A, A’,眼(3))

解决方案要无限,但凑整给我们1 /每股收益。

X =

1.0 e + 15 *

-0.8519 1.1016 0.4883 1.1016 -1.4822 -0.6330 0.4883 -0.6330 -0.2726

我将利用这一行为的方法之一。

齐次西尔维斯特方程

如果我取C是零,翻转的标志B,西尔维斯特方程

(1)* X = X * B

这是我们的均匀西尔维斯特方程和我标记它(1)。事实证明,(1)有非零解当且仅当一个和B至少有一个共同的特征值。没有什么是需要的排名解决方案的X,但很明显,这个等级不能超过的特征值数量一个和B有共同之处。

方程(1)是一个线性方程。如果X和Y解决方案万博 尤文图斯,所以是什么αβ* X + Y *对于任何一个标量α和β。

为了兼容的维度,一个和B广场,但他们没有相同的尺寸。如果一个是m×m和B是n×n,然后X是m×n的。

硅藻土的法律

我的基本规律的科学计算:

问题,无法有独特的解决方案万博 尤文图斯不适定的。即使解决方案,他们对万博 尤文图斯扰动非常敏感。

方程(1)是一个不适定的典范。没有限制一个和B,唯一的解决办法是零。另一方面,如果一个和B分享至少有一个特征值,至少有一个解决方案,但它并不是唯一的,因为它可以重整。和线性独立的解决方案的数量取决于难以捉摸的代数和几何的多重性。万博 尤文图斯

B = 0

让我们来看看一些特别的版本(1)。如果我们写一些通用软件,它将不得不处理所有这些情况。

如果B是零,(1)就变成了* X = 0和任何零空间的向量一个是一个解决方案。最好的方法来找到一个矩阵的零空间使用它的圣言。

B是对角线

如果B与标量对角线元素d,然后(1)就变成了* x = d * x。有解决方案如果万博 尤文图斯d是一个特征值,但他们不是唯一的。

B =“

任何矩阵及其转置有相同的特征值方程

(2)* X = X *“

这是最常见的齐次西尔维斯特方程。如果解决方案已经满秩X \ * X =“是一个矩阵时,我们要求类似的其转置。

如果一个有一个完整的线性无关的特征向量,那么呢一个“。如果U \ A *= D =V \“* VD是对角线,呢X = V / U是一个解决方案(2)。

如果= J是任何的约当块特征值,让X = fliplr(眼(n))。然后X是一个解决方案(2)。

一个是对称的

如果=“,(2)有许多解决方案,包万博 尤文图斯括单位矩阵,其他任何多项式在吗一个,甚至像功能exp (t *)。

预览的第2部分

这就够了。在第二部分,我将调查两种方法,一个使用克罗内克产品,另一个使用逆迭代。s manbetx 845这是一个预览的克罗内克产品。s manbetx 845

进一步的阅读

尼克海厄姆的一篇文章关于西尔维斯特的灵敏度方程。链接。

论文由Olga Taussky和汉斯Zassenhuas的解决方案X \ * X =“是对称的。链接。

一篇论文和Fortran软件艾伦•到来我,三个学生* X * B + C * X * D ' = E。链接,链接。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2020b