布朗粒子运动的模拟

发布的客人选择器，2020年3月20日

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今天的文章由欧文·保罗撰写，他是一名学生大使技术项目专家。在加入数学工场之前，他自己是一名学生大使特色在社区博客．

内容

介绍

本周的选择是布朗粒子运动的模拟通过艾玛高斯．这个文件交换条目引起了我的注意，因为它在住脚本画廊艾玛·高是我们的一员学生大使！她在加州大学圣巴巴拉分校担任数学工作的学生大使已经三年了。

背景

如果你看一扇阳光照进来的窗户，你可能会注意到小尘埃四处飞舞。不管你多么努力地拍打这些灰尘颗粒，它们还是会漫无目的地飘来飘去。这种现象用布朗运动来描述。由于它们运动的随机性，试图预测这些粒子的去向是极其困难的。在这个文件交换条目中，Emma向我们展示了如何使用欧拉?Maruyama (EM)方法来模拟粒子如何在一维(1D)平面上移动。当被问及是什么促使艾玛写了这个关于这个主题的现场脚本时，她说“这个项目是在协助阿茨伯格教授(UCSB)在可微流形方面的工作的同时，基于[她]对布朗粒子运动的研究创建的。”但后来她把作品改编成了现场剧本来参加MATLAB在线编辑器挑战在2018年举行。

主要代码应用EM方法

现在让我们深入研究这个实时脚本的一些核心元素。在这个现场脚本中，我们可以看到如何应用EM方法的一维布朗运动，以及近似误差与此分析。我们可以看到下面的图，蓝色的线代表实际的路径，绿色的虚线代表预测的运动。

randn (“状态”，100) = 2;μ= 1;Xnot = 1;T = 1;N = 2 ^ 8;dt = 1 / N;dW = sqrt (dt) * randn (1, N);W = cumsum (dW);X_exact = Xnot * exp((λ闲置*μ^ 2)* ((dt: dt: T)) +μ* W);情节([0:dt: T], [Xnot X_exact],“b -”）;持有在R = 4;Dt = R * Dt;L = N / R;X_EM = 0(1升);X_temp = Xnot;为drawtext (dW(dW *(j-1)+1)) = 1 and dW(dW *(j-1)+1) = 1);X_temp = X_temp + Dt*lambda*X_temp + X_temp*Winc;X_EM (j) = X_temp;结束情节([0:Dt: T], [Xnot X_EM],“g - o”)举行从包含(“t”）;ylabel (“X”）;标题(10^4样本的近似误差）

用其他方法求解布朗模拟

这段代码还有一个好处，它展示了我们如何用数字方法解决这个问题。这直接显示了解决问题方法的差异，也显示了这两种方法的编码差异。

numx = 101;numt = 2000;Dx = 1/(numx - 1);dt = 0.00005;x = 0: dx: 1;C = 0 (numx numt);t (1) = 0;C (1, - 1) = 0;numx C (1) = 0;μ= 0.5; sigma = 0.05;为我= 2:numx-1 C(我,1)= exp (- (x(我)μ)^ 2 /(2 *σ^ 2))/√(2 *π*σ^ 2);结束为t(J +1) = t(J) + dt;为我= 2:numx-1 C (i, j + 1) = C (i, j) + (dt / dx ^ 2) * (C (i + 1, j) - 2 * C (i, j) + C(张,j));结束结束图保存在情节(x, C (: 1));情节(x, C (:, 11));情节(x, C (:, 101));情节(x, C (:, 1001));情节(x, C (:, 2001));持有从