可控性和可观察性Gramians - MATLAB图 - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

语法

Wc = gram(sys，'c') Wc = gram(sys，'o') Wc =克(___选择)

描述

Wc=克(sys、“c”)计算状态空间的可控性Gramian (党卫军)模型sys．

Wc=克(sys、“o”)计算的可观测性Gramian党卫军模型sys．

Wc=克(___，选择）计算有时间限制或频率限制的葛兰姆。选择是一个选项集，用于指定计算的时间或频率间隔。创建选择使用gramOptions命令。

你可以使用格兰姆函数来研究状态空间模型的可控性和可观测性，并用于模型约简[1]．它们具有较好的数值性质，而不是由可控和可观测矩阵ctrb而且obsv．

给定连续时间状态空间模型

$\begin{array}{l} \dot{x} ＝一个 x + B u \\ y ＝ C x + D u \end{array}$

可控性的定义是

$W_{c} ＝ \int_{0}^{\infty} e^{一个 τ} B B^{T} e^{{一个}^{T} τ} d τ$

可控性Gramian是正定的当且仅当(一个，B)是可控的。

可观测性Gramian定义为

$W_{o} ＝ \int_{0}^{\infty} e^{{一个}^{T} τ} C^{T} C e^{一个 τ} d τ$

可观测性Gramian是正定的当且仅当(一个，C)是可观察到的。

可控性和可观测性葛兰姆的离散时间对应物是

$\begin{matrix} W_{c} ＝ \sum_{k ＝ 0}^{\infty} {一个}^{k} B B^{T} {（ {一个}^{T} ）}^{k} ， & W_{o} ＝ \end{matrix} \sum_{k ＝ 0}^{\infty} {（ {一个}^{T} ）}^{k} C^{T} C {一个}^{k}$

分别。

使用限时或限频葛兰姆来检查特定时间或频率间隔内状态的可控性或可观察性。这些格兰米的定义描述在[２]．

例子

计算频率限制格拉姆

计算下列状态空间模型的可控性格拉姆量。将计算集中在能量最多的频率区间上。

Sys = ss([-.]1 -1;1 0]，[1;0]，[0 1]，0);

该模型包含一个速率为1 rad/s的峰值。使用gramOptions指定该频率周围的间隔。

opt = gramOptions(“FreqIntervals”[0.8 - 1.2]);Gc = gram(sys，“c”选择)

gc =2×24.2132 0.0000 0.0000 4.2433

限制

的一个矩阵必须稳定(所有特征值在连续时间内均为负实部，且在离散时间内大小严格小于1)。

算法

可控性，GramianW_c是通过求解连续时间得到的吗李雅普诺夫方程

$一个 W_{c} + W_{c} {一个}^{T} + B B^{T} ＝ 0$

或者它的离散时间对应

$一个 W_{c} {一个}^{T} - W_{c} + B B^{T} ＝ 0$

类似地，可观测格拉米安W_o解李雅普诺夫方程

${一个}^{T} W_{o} + W_{o} 一个 + C^{T} C ＝ 0$

连续时间的李雅普诺夫方程

${一个}^{T} W_{o} 一个 - W_{o} + C^{T} C ＝ 0$

在离散时间内。

限时和限频葛兰姆的计算如中所述[２]．

参考文献

T.凯拉斯，[1]线性系统， Prentice-Hall, 1980。

[2]高龙斯基，W.和J.N.庄。有限时间和频率间隔下的模型约简国际系统科学杂志．第21卷第2期，1990年，第349-376页。

版本历史

R2006a之前介绍

另请参阅

gramOptions|hsvd|balreal|lyap|dlyap