柔性梁的振动控制

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这个例子展示了如何调整控制器来减少柔性梁的振动。

挠性梁模型

图1描绘了一个柔性梁的主动振动控制系统。

图1:柔性梁的主动控制

在这种设置中，执行器传递力你美元并配置速度传感器。我们可以从控制输入建立传递函数的模型你美元的速度y美元使用有限元分析。只保留前六种模式，我们就得到了一个植物模型的形式

$ $ G (s) = \ sum_ {i = 1} ^ 6 \压裂{\ alpha_i ^ 2 s} {^ 2 + 2 \ xi w_i年代+ w_i ^ 2} $ $

使用以下参数值。

%的参数ξ= 0.05;α= (0.09877,-0.309,-0.891,0.5878,0.7071,-0.8091);w = [1, 4, 9, 16, 25, 36];

得到的梁模型G (s)美元是由

%梁模型G = tf(alpha(1)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(1)， w(1)^2]) +…tf(alpha(2)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(2)， w(2)^2]) +…tf(alpha(3)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(3)， w(3)^2]) +…tf(alpha(4)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(4)， w(4)^2]) +…tf(alpha(5)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(5)， w(5)^2]) +…特遣部队(α(6)^ 2 *(1,0),(1、2 * 11 * w (6), w (6) ^ 2]);G。InputName =uG的;G。OutputName =“y”;

采用这种传感器/致动器配置，beam是一个被动系统:

isPassive (G)
逻辑1

这是通过观测得到的奈奎斯特图证实的G美元是正的真实。

尼奎斯特(G)

LQG控制器

LQG控制是主动振动控制的一种自然公式。图2描述了LQG控制设置。的信号$ d $和n美元分别为过程噪声和测量噪声。

图2:LQG控制结构

第一次使用lqg计算目标的最优LQG控制器

$ $ J = \ lim_ E {T \ rightarrow \ infty} \离开(\ int_0 ^ T (y ^ 2 (T) + 0.001 & # xA; u ^ 2 (T) dt \右)$ $

噪声方差:

$$ E(d^2(t)) = 1，\四E(n^2(t)) = 0.01。$ $

[a, b, c, d] = ssdata (G);0 (1,12) 1];[x;u] = M * [x;u]QWV = blkdiag (b * b ', 1依照);QXU = M'*diag([1 1e-3])*M;CLQG = lqg (ss (G)、QXU QWV);

LQG-optimal控制器CLQG复杂的有12个状态和几个缺口零。

大小(CLQG)
具有1个输出、1个输入和12个状态的状态空间模型。
波德(G, CLQG{1飞行,1 e3}),网格,传说(‘G’,“CLQG”)

使用通用调谐器systune试图简化这个控制器。与systune，您不受限于全订单控制器，并且可以调优任何订单的控制器。例如，在这里，让我们调优一个二级状态空间控制器。

C = ltiblock.ss (“C”、2、1、1);

构建图2中框图的闭环模型。

C。InputName =“yn”;C。OutputName =“u”;S1 = sumblk (yn = y + n);S2 = sumblk ('uG = u + d');CL0 =连接(G、C、S1, S2, {' d ',“n”},{“y”,“u”},{“yn”,“u”});

使用LQG标准$ J $以上是唯一的调优目标。LQG调优目标允许您直接指定性能权重和噪声协方差。

R1 = TuningGoal.LQG ({' d ',“n”},{“y”,“u”},诊断接头([1,1依照]),诊断接头([1 1 e - 3]));

现在调优控制器C使LQG目标最小化$ J $。

[CL1, j - 1] = systune (CL0 R1);
Final: Soft = 0.478, Hard = -Inf, iteration = 40

优化器发现一个二级控制器J = 0.478美元。与最优值进行比较$ J $值CLQG:

[~, Jopt] = evalGoal (R1, replaceBlock (CL0,“C”, CLQG))
Jopt = 0.4673

性能下降小于5%，控制器复杂度由12状态降至2状态。进一步比较的脉冲响应$ d $来y美元这两个控制器。这两种反应几乎是相同的。因此，你可以获得接近最优的振动衰减与一个简单的二阶控制器。

T0 =反馈(G, CLQG, + 1);T1 = getIOTransfer (CL1,' d ',“y”);冲动(T0, T1, 5)标题('对脉冲干扰的响应')传说(“LQG最优”,“二阶LQG”)

被动LQG控制器

我们使用一个近似的梁模型来设计这两个控制器。先验地，不能保证这些控制器在真实光束上有良好的表现。然而，我们知道光束是一个无源物理系统，并且无源系统的负反馈互连始终是稳定的。因此,如果- c (s)美元如果是被动的，我们可以相信闭环系统将是稳定的。

最优LQG控制器不是无源的。实际上，它的相对被动索引是无限的，因为1-CLQG美元甚至不是最小相位。

getPassiveIndex (-CLQG)
ans =正

它的奈奎斯特图证实了这一点。

尼奎斯特(-CLQG)

使用systune，您可以重新调优二阶控制器，并附加以下要求- c (s)美元应该是被动的。为此，为开环传递函数创建无源调优目标yn来u(这是C (s)美元)。用“加权被动”目标来解释减号。

R2 = TuningGoal.WeightedPassivity ({“yn”},{“u”} 1 1);R2。机会=“u”;

现在重新调优闭环模型CL1使LQG目标最小化$ J $受- c (s)美元是被动的。请注意无源性目标R2现在指定为硬约束。

(这有点难度,J2, g) = systune (CL1、R1、R2);
Final: Soft = 0.478, Hard = 1, iteration = 36

调谐器也能达到同样的效果$ J $值，同时执行被动(硬约束小于1)。验证一下- c (s)美元是被动的。

C2 = getBlockValue(这有点难度,“C”);passiveplot (c2)

对LQG-optimal控制器的改进在Nyquist图中最为明显。

尼奎斯特(-CLQG c2)传说(“LQG最优”,“二阶无源LQG”)

最后，比较脉冲响应$ d $来y美元。

T2 = getIOTransfer(这有点难度,' d ',“y”);冲动(T0, T2, 5)标题('对脉冲干扰的响应')传说(“LQG最优”,“二阶无源LQG”)

使用systune，您设计了一个二阶无源控制器，具有接近最佳的LQG性能。

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