估计条件均值和方差模型

这个例子展示了如何使用复合条件均值和方差估计模型估计。

加载和数据预处理

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负载Data_EquityIdx纳斯达克= DataTable.NASDAQ;r = 100 * price2ret(纳斯达克);T =长度(r);

创建模型模板

创建一个AR(1)和GARCH(1,1)组合模型,形式

$r_{t} = c + ϕ_{1} r_{t - - - - - - 1} + ε_{t},$

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - - - - - - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - - - - - - 1}^{2},$

在哪里 $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ 和 $z_{t}$ 是一个iid标准化的高斯过程。

VarMdl = garch (1,1)

VarMdl = garch的属性:描述:“garch(1,1)条件方差模型(高斯分布)”Distribution: Name = "Gaussian" P: 1 Q: 1 Constant: NaN GARCH: {NaN} at lag [1] ARCH: {NaN} at lag [1] Offset: 0

Mdl = arima (“ARLags”,1“方差”VarMdl)

Mdl = arima与属性:描述:“arima(1,0,0)模型(高斯分布)”Distribution: Name = "Gaussian" P: 1 D: 0 Q: 0 Constant: NaN AR: {NaN} at lag [1] SAR: {} MA: {} SMA: {} Seasonality: 0 Beta: [1×0] Variance: [GARCH(1,1) Model]

Mdl是一个华宇电脑模型估计的模板。南价值的属性Mdl和VarMdl对应于未知,可估计的系数和方差参数的复合模型。

估计模型参数

符合模型返回系列r通过使用估计。

EstMdl =估计(Mdl, r);

ARIMA(1,0,0)模型(高斯分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________常数0.072632 0.018047 4.0245 5.7087 e-05 AR {1} 0.13816 0.019893 6.945 3.7848 e-12 GARCH(1,1)条件方差模型(高斯分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________常数0.022377 0.0033201 6.7399 1.5851 e-11 GARCH{1} 0.87312 0.0091019 95.927 0弓{1}e-42 0.11865 0.008717 13.611 3.434

EstMdl是一个完全指定的华宇电脑模型。

估计显示显示了五个估计参数和相应的标准误差(AR(1)条件均值模型有两个参数,和GARCH(1,1)条件方差模型有三个参数)。

拟合模型(EstMdl)是

$r_{t} = 0 。 073 + 0 。 138 r_{t - - - - - - 1} + ε_{t},$

$σ_{t}^{2} = 0 。 022 + 0 。 873 σ_{t - - - - - - 1}^{2} + 0 。 119 ε_{t - - - - - - 1}^{2} 。$

所有 $t$ 统计数据是大于2,这表明所有参数都具有统计学意义。

动态模型需要presample观察,来初始化模型。如果你不指定presample观察,估计默认生成它们。

推断条件方差和残差

推断和情节条件方差和标准化残差。输出loglikelihood目标函数值。

[res, v, logL] =推断(EstMdl, r);图次要情节(2,1,1)情节(v) xlim ([0, T])标题(“有条件的差异”次要情节(2,1,2)情节> /√(v) xlim ([0, T])标题(标准化残差的)

图包含2轴对象。坐标轴对象1条件方差与标题包含一个类型的对象。坐标轴对象2标题标准化残差包含一个类型的对象。

2000年后观察条件方差增长。这个结果对应于波动增加的原始回归系列。

标准化残差有更大值(绝对值大于2或3)比预期的标准正态分布。这个结果表明学生的 $t$ 分布更适合创新。

合适的模型t创新分布

创建一个模型模板Mdl,并指定其创新有一个学生的 $t$ 分布。

MdlT = Mdl;MdlT。分布=“t”;

MdlT有一个额外的参数估计: $t$ 分布的自由度。

适应新的纳斯达克返回系列模型。指定一个初始值方差模型常数项。

Variance0 = {“Constant0”0.001};EstMdlT =估计(MdlT r“Variance0”,Variance0);

ARIMA(1,0,0)模型(t分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________常数0.093488 0.016694 5.6002 2.1414 e-08 AR {1} e-13景深7.4775 0.88261 8.472 1.6175 0.13911 0.018857 7.3771 2.4126 e-17 GARCH(1,1)条件方差模型(t分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________常数0.011246 0.0036305 3.0976 0.0019511 GARCH{1} 0.90766 0.010516 86.315 0弓{1}e-16景深7.4775 0.88261 8.472 1.0712 0.089897 0.010835 8.2966 2.4126 e-17

之间的系数估计EstMdl和EstMdlT略有不同。自由度估计相对较小(约8),这表明显著偏离正常。

比较模型适合

总结了估计模型。从总结,获得的数量估计参数和loglikelihood从第二目标函数值。

摘要=总结(EstMdl);SummaryT =总结(EstMdlT);numparams = Summary.NumEstimatedParameters;numparamsT = SummaryT.NumEstimatedParameters;logLT = SummaryT.LogLikelihood;

比较两个模型(高斯和相吻合 $t$ 创新分布)使用Akaike信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)。

[numparams numparamsT]

ans =1×25个6

(aic, bic) = aicbic ([logL logLT], [numparams numparamsT), T)

aic =1×210³×9.4929 - 9.3807

bic =1×210³×9.5230 - 9.4168

第一个模型有六个安装参数,而第二个模型有6个(因为它包含 $t$ 分布的自由度)。尽管这种差异,信息标准模型与学生的青睐 $t$ 创新AIC和BIC值分布,因为它收益率小于与高斯模型的创新。