条件方差模型的MMSE预测- MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

条件方差模型的MMSE预测

什么是MMSE预测?

条件方差建模的一个共同目标是对未来时间范围内的条件方差过程进行预测。也就是说，给定条件方差过程 $σ_{1}^{2} ， σ_{2}^{2} ， .．. ， σ_{N}^{2}$ 以及预测的范围h，生成预测 $σ_{N + 1}^{2} ， σ_{N + 2}^{2} ， .．. ， σ_{N + h}^{2} ．$

让 ${\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2}$ 表示方差的预测时间t+ 1，条件是到目前为止的进程历史t，H_t．最小均方误差(MMSE)预测是预测结果 ${\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2}$ 使条件期望平方损失最小化，

$E （ σ_{t + 1}^{2} - {\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} | H_{t} ）．$

最小化这个损失函数得到MMSE预测，

${\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ＝ E （ σ_{t + 1}^{2} | H_{t} ）＝ E （ ε_{t + 1}^{2} | H_{t} ）．$

EGARCH MMSE预测

对于EGARCH模型，MMSE预测为对数条件方差，

$日志 {\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ＝ E （日志 σ_{t + 1}^{2} | H_{t} ）．$

对于EGARCH过程的条件方差预测，预测返回MMSE对数条件方差预测的指数，

${\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ＝经验值｛日志 {\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ｝．$

这导致了轻微的预测偏差，因为詹森不等式，

$E （ σ_{t + 1}^{2} ） \geq 经验值｛ E （日志 σ_{t + 1}^{2} ）｝．$

作为MMSE预测的替代方法，您可以进行蒙特卡罗模拟来预测EGARCH过程。蒙特卡罗模拟得到EGARCH模型的无偏预测。然而，蒙特卡罗预测受到蒙特卡罗误差的影响(可以通过增加模拟样本量来减少误差)。

如何`预测`生成MMSE预报

的预测函数递归生成MMSE预测。当你打电话时预测，则必须指定预示例响应Y0，您可以选择指定预采样条件方差半使用“半”名称-值对参数。如果被预测的模型包括一个均值偏移，由一个非零信号抵消财产,预测从预采样响应中减去偏移项以创建预采样创新。

从观察到的系列的末尾开始预测Y的最后几个观察结果Y作为示例响应Y0初始化预测。初始化预测所需的最小预采样响应数存储在属性中问模型的。

当指定预采样条件方差时半，初始化预测所需的预采样条件方差的最小数量存储在属性中PGARCH (P，问)及GJR(P，问)模型。EGARCH (P，问)模型时，初始化预测所需的预采样条件方差的最小数目为max(P，问）.

请注意，对于所有方差模型，如果您提供至少max(P，问) +P预采样响应观察Y0，预测推断任何需要的预采样条件方差半给你。如果您提供预样本观测值，但小于max(P，问) +P，预测将任何需要的预采样条件方差设置为模型的无条件方差。

GARCH模型

的预测函数递归生成GARCH模型的MMSE预测。

考虑为GARCH(1,1)模型生成预测， $ε_{t} ＝ σ_{t} z_{t} ，$ 在哪里

$σ_{t}^{2} ＝ κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} ．$

假设有创新 $ε_{T}$ 预采样条件方差 $σ_{T}^{2} ，$ 预测是递归生成如下:

${\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} ＝ κ + γ_{1} σ_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2}$
${\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} ＝ κ + γ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\overset{＾}{σ}}_{T + 3.}^{2} ＝ κ + γ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

注意，创新是用恒等式来预测的

$E （ ε_{t + 1}^{2} | H_{t} ）＝ E （ σ_{t + 1}^{2} | H_{t} ）＝ {\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ．$

这个递归收敛到过程的无条件方差，

$σ_{ε}^{2} ＝ \frac{κ}{（ 1 - γ_{1} - α_{1} ）} ．$

GJR模型

的预测函数递归生成GJR模型的MMSE预测。

考虑为GJR(1,1)模型生成预测， $ε_{t} ＝ σ_{t} z_{t} ，$ 在哪里 $σ_{t}^{2} ＝ κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + ξ_{1} 我［ ε_{t - 1} < 0 ］ ε_{t - 1}^{2} ．$ 假设有创新 $ε_{T}$ 预采样条件方差 $σ_{T}^{2} ，$ 预测是递归生成如下:

${\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} ＝ κ + γ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2} + ξ_{1} 我［ ε_{T} < 0 ］ ε_{T}^{2}$
${\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} ＝ κ + γ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\overset{＾}{σ}}_{T + 3.}^{2} ＝ κ + γ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

请注意，对于均值为零的创新过程，指标的期望值为1/2，并且创新是使用恒等式进行预测的

$E （ ε_{t + 1}^{2} | H_{t} ）＝ E （ σ_{t + 1}^{2} | H_{t} ）＝ {\overset{＾}{σ}}_{t + 1}^{2} ．$

这个递归收敛到过程的无条件方差，

$σ_{ε}^{2} ＝ \frac{κ}{（ 1 - γ_{1} - α_{1} - \frac{1}{2} ξ_{1} ）} ．$

EGARCH模型

的预测函数递归生成EGARCH模型的MMSE预测。预测最初是为对数条件方差生成的，然后对其求幂以预测条件方差。这导致了轻微的预测偏差。

考虑为EGARCH(1,1)模型生成预测， $ε_{t} ＝ σ_{t} z_{t} ，$ 在哪里

$日志 σ_{t}^{2} ＝ κ + γ_{1} 日志 σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ［ | \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} | - E ｛ | \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} | ｝］ + ξ_{1} \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} ．$

期望值项的形式取决于创新分布的选择，是高斯分布还是学生分布t．假设有创新 $ε_{T}$ 预采样条件方差 $σ_{T}^{2} ，$ 预测是递归生成如下:

$日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} ＝ κ + γ_{1} 日志 σ_{T}^{2} + α_{1} ［ | \frac{ε_{T}}{σ_{T}} | - E ｛ | \frac{ε_{T}}{σ_{T}} | ｝］ + ξ_{1} \frac{ε_{T}}{σ_{T}}$
$日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} ＝ κ + γ_{1} 日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2}$
$日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 3.}^{2} ＝ κ + γ_{1} 日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

请注意，未来的绝对标准化创新和未来的创新都被它们的期望值所取代。这意味着，对于所有以未来创新为条件的预测，ARCH和杠杆项都为零。这个递归收敛到过程的无条件对数方差，

$日志 σ_{ε}^{2} ＝ \frac{κ}{（ 1 - γ_{1} ）} ．$

预测返回指数化的预测， $经验值｛日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 1}^{2} ｝，经验值｛日志 {\overset{＾}{σ}}_{T + 2}^{2} ｝， .．. ，$ 有限制

$经验值｛ \frac{κ}{（ 1 - γ_{1} ）} ｝．$

另请参阅

对象

garch|egarch|gjr

功能

预测