按尺度分析信号变异性

加载并绘制clock_571数据集。这个例子本质上是对《Percival & Walden》分析的再现［3］13 - 16页。

负载clock_571；图;情节(clock_571)包含(“天”网格)在；标题(“每日平均分数频率偏离——铯钟”）;

这些数据是特定铯原子钟相对于美国海军天文台主时钟的每日平均分数频率偏差。如果时间序列的值为0，则表示铯时钟在一天中相对于主时钟既没有失去时间，也没有获得时间。如果该值为负值，表示时钟当天失去了时间，如果为正值，则表示时钟获得了时间。对于这个数据，值都是负数。对于某些应用程序，如大地测量学，了解时钟与主时钟的偏差是否处于最低值的特定时间尺度是很重要的。换句话说，是否存在某些刻度，时钟与主时钟最接近?哈尔变换在这里是有用的，因为它具有两个重要的性质:它按尺度去关联数据，并在尺度之间分割信号能量。

为了说明解相关的性质，获取到6级的Haar变换。分别绘制2、4、8、16、32天尺度下原始数据的自相关序列和小波系数的自相关。图上的虚线描绘了白噪声输入的95%置信区间。超过这些线的值表明数据中存在显著的自相关。

[s, w] = haart (clock_571 6);helperAutoCorr (clock_571 w);

上面的图显示了原始数据的自相关序列。随后的图显示了小波系数在越来越粗的尺度下的自相关序列。很明显，原始数据的自相关序列完全滞后，而Haar变换系数是去相关的。接下来，演示节能。

sigenergy = norm(clock_571,2)^2 energyByScale = cellfun(@(x)norm(x,2)^2,w);haarenergy =规范(年代,2)^ 2 +总和(energyByScale)

Sigenergy = 2.7964e+05

通过哈尔变换保持了信号的总能量。由于这些特性，您可以根据小波系数在每个尺度捕获的信号能量比例做出有意义的推断。

尺度= 2。^ (1:6);图绘制(尺度、energyByScale“o”)包含(“规模(天)”甘氨胆酸)组(,“xscale”，“日志”甘氨胆酸)组(,“xtick”2 . ^ (1:6)) ylabel (“信号能量比例”网格)在

你可以看到，能量在16到32天范围内是最低的。对于Haar小波(和所有Daubechies小波)，给定尺度下的小波系数表示在尺度长度的1/2的持续时间内数据加权平均之间的差异。这张图显示了铯时钟与主时钟最一致的刻度。这意味着考虑大约两周甚至一个月的数据比考虑更小或更长的数据更准确。如前所述，这对大地测量学有着重要的意义，因为精确的时间测量是至关重要的。

虽然Haar小波是不连续的，但它仍然可以有效地表示各种时间序列。示例包括计数数据和时间序列的值与某些特定状态绑定的数据，这些状态会影响时间序列的级别。例如，考虑心率和睡眠状态之间的关系。

创建信号近似

数据由两个时间序列组成。一个时间序列是66天大的婴儿的心率，每16秒采样一次，持续9个多小时。心率时间序列是整数值的。另一个时间序列是同一婴儿在同一时期以相同采样率的睡眠状态的专家评分。睡眠状态数据是根据婴儿的脑电图和眼动(EOG)数据评分的，而不是根据心率。睡眠状态代码为1=安静睡眠，2=安静和活跃睡眠之间，3=活跃睡眠，4=清醒。这两个时间序列都是由布里斯托尔皇家病童医院儿童健康研究所的Peter Fleming教授、Andrew Sawczenko博士和Jeanine Young教授记录的，并好心地提供在本例中使用。将心率数据和睡眠状态绘制出来。

负载BabyECGData图yyaxis左情节(次、人力资源)ylabel (“人力资源”)包含(“小时”) YLim = [min(HR)-1 max(HR)+1];yyaxis正确的情节(时间、SS) ylabel (“睡眠状态”) YLim = [0.5 4.5];标题(“宝宝心电图和睡眠状态”）

对数据的检查揭示了睡眠状态和心率之间的明显关联，但这些数据非常嘈杂。由于哈尔变换提供了信号的阶梯近似，因此在响应依赖于具有少量离散状态的预测变量的情况下，哈尔变换通常很有用。这里的离散状态是四个睡眠阶段。使用5级近似获得心率数据的Haar近似。因为心率数据是整数值的，所以使用“整数”标志，以确保返回整数值数据。策划的结果。

(年代,W) = haart(人力资源,“整数”）;HaarHR = ihaart(年代,W, 5,“整数”）;figure hL = plotyy(times,HaarHR,times,SS);ax₁=霍奇金淋巴瘤(1);Ax2 =霍奇金淋巴瘤(2);ax₁。YLim = [min(HaarHR)-1 max(HaarHR)+1];Ax1.YLabel。字符串=“人力资源”；Ax2。YLim = [0.5 4.5];Ax2.YLabel。字符串=“睡眠状态”；包含(“小时”)标题(“哈尔近似和睡眠状态”）

哈尔近似更清楚地显示了睡眠状态和心率数据之间的关系。你可以通过观察原始数据和睡眠状态时间序列之间的相关性来评估这种变化。

相关系数(SS、人力资源)

ans = 0.5576

现在将0.56的值与睡眠状态数据和Haar近似之间的相关性进行比较

HaarHR corr (SS)

ans = 0.6907

相关性从0.56上升到0.69。Nason, von Sachs， & Kroisandt对这些数据进行了更高级的小波分析和建模［1］和Nason, Sapatinas， & Sawczenko［2］．

图像的数字水印

水印是一种重要的数据保护工具。它是一种被动保护技术，在某些数据中偷偷插入标记，以验证数据的真实性或完整性。通常小波技术特别是哈尔变换是水印图像中常用的技术。这个例子说明了利用哈尔变换对图像进行水印和恢复水印。为便于说明，本例采用了一种简单的水印方案。在该方案中，水印被插入到第3级的近似系数中。

水印的形象与一个蜂蜜獾。阅读Mandrill图像。将其调整为2048 × 2048并显示结果。

coverIM = imread (“mandrill.jpg”）;coverIM = rgb2gray (coverIM);coverIM = imresize(im2double(coverIM)，[2048 2048]);显示亮度图像(coverIM) colormap灰色的标题(“原始图像到水印”)轴从轴广场

获取Mandrill图像到第3级的Haar变换。

[LLorig, LHorig HLorig HHorig] = haart2 (coverIM 3);显示亮度图像(LLorig)标题(“三级哈尔近似”)轴从轴广场

读取水印图像和调整它的大小。

水印= imread (“honeybadger.jpg”）;水印= im2double (rgb2gray(水印));水印= imresize(水印，[2048 2048]);

将水印图像的Haar变换降至第3级。

[国际,LHw HLw HHw] = haart2(水印,3);显示亮度图像(国际)colormap灰色的标题(“Level 3 Haar近似值—水印”)轴从轴广场

通过对水印的三级近似系数进行衰减，并将衰减系数插入到三级近似系数中，将蜜獾水印加入到顶钻图像中。

LLwatermarked = LLorig + 1 *国际的军医;markedIM = ihaart2 (LLwatermarked LHorig、HLorig HHorig);显示亮度图像(markedIM)标题(“有水印的图像”)轴从轴广场colormap灰色的

水印(蜜獾)是不可见的水印图像。因为您知道使用了什么算法来插入水印，所以您可以使用Haar变换恢复水印。

(LLr LHr、HLr HHr] = haart2 (markedIM 3);LLmarked = (LLr-LLorig)。* 1 e4;显示亮度图像(LLmarked)标题(“恢复水印”) colormap灰色的轴从轴广场