克利夫角:克利夫摩尔的数学和计算

科学计算，数学等等

上确界

发布的克里夫硅藻土，

40次浏览(过去30天 喜欢| 0评论

求这个函数的上限值。

内容

最喜欢的功能

这是我最喜欢的函数之一。它的最大值是多少?

$ $ f (x) = \ tan{罪\ {x}} -罪\ {\ tan {x}} $ $

我们把它画出来ezplot，发音是easy-plot．

f = @ (x)谭(sin (x)) -罪(tan (x)) ezplot (f(π-π,))
f = @ (x)谭(sin (x)) sin (tan (x))

函数在原点处是平坦的。它的泰勒级数从$x^7$开始。它经常在$\pm \pi/2$附近无限地振荡。当它在$\pm \pi$处再次接近零时，它是线性的。对于我们的目的，最重要的是，ezplot选择了极限y-轴应该在2.5到3之间。

信谊xF = sym(F)“泰勒= ')相当(泰勒(F, x,“秩序”，10)) ylim = get(gca，“ylim”）
F = tan(sin(x)) - sin(tan(x)) taylor = 9 7 29 x x ----- +——756 30 ylim = -2.867712755182179 2.867712755182179

微积分

我们在微积分中学过，最大值出现在导数的零点处。但是这个函数在$\pi/2$附近是不可微的。最有趣的是ezplot导数的导数是标题。试着找到一个零差异(F)是没有意义的。

ezplot (diff (F),[-ππ])

样本

我们可以在$\pi/2$附近对函数进行抽样，以得到最大值的数值近似值。这足够了吗?

X = 3*pi/8 + pi/4*rand(1,000,000);y = f (x);格式长smax = max (y)
smax = 2.557406355782225

认为

电脑帮了忙，但我们没有它也能做这件事。

$$ sin{x} \le 1 $$

所以

$$ sin{\tan {x}} \le 1 $$

和

$$ \tan {\sin{x}} \le \tan {1} $$

因此

$$ f(x) \le 1 + \tan {1} $$

上确界

但是我想要更小心一点。当$x$接近$\pi/2$时，$\tan{x}$膨胀。所以$f(x)$实际上不是在$\pi/2$处定义的。对于这个函数的定义域，一个小于等于变成了一个小于。

$$ \sin{x} < 1 $$

$$ \tan {\sin{x}} < \tan {1} $$

$$ f(x) < 1 + \tan {1} $$

对于我最初的问题，准确的答案是这个函数没有最大值。它有一个“最小上界”或者上确界，函数不超过的最小量。的吃晚饭是:

$$ \sup {f(x)} = 1 + \tan {1} $$

现在我们来看看数值。

Sup = 1 + tan(1)
一口= 2.557407724654902




与MATLAB®7.14发布


与MATLAB®7.14发布

|
类别:
微积分
  • 打印
  • 发送电子邮件

另请参阅

评论

请点击留言在这里登录到您的MathWorks帐户或创建一个新帐户。