你期望在单位正方形中随机选择的两点之间的距离是多少?我在Presh Talwalkar维护的YouTube频道上发现了这个问题，介意你的决定．他正确地称之为非常难的谜题．起初，我猜答案可能是1/2美元。但正确的答案比这更有趣。

内容

模拟

让我们做一个蒙特卡罗模拟来得到一个数值估计。对100万对点采样并不需要太多时间。

n = 1000000;金额= 0;rng (0)为K = 1:n x = rand(1,2);y =兰德(1、2);δ=规范(x - y);Sum = Sum +;结束格式短δ= / n

δ= 0.5214

结果表明，这一运行的模拟产生的结果，是准确的四位数精度格式的短．但我们能求出准确的值吗?

四倍积分

预期的距离$\delta$可以表示为这个四重积分，但符号工具箱无法找到封闭形式。

δ= $ $ \ \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ !\√6 {(x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2} \ \ mathrm {d} x_1 \ mathrm {d} y_1 \ mathrm {d} x_2 \ mathrm {d} y_2 $ $

二重积分

做$x = x_1 - y_1$和$y = x_2 - y_2$的替换，然后考虑变量为正或负的四个区域的积分。这四个积分是相等的我们得到这个二重积分。

$$\delta = 4 \int_0^1 \int_0^1 \!\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ (1 - x) (1 y) \ \ mathrm x \ d {} mathrm y $ $ {d}

数值积分

让我们用数值方法来处理这个二重积分。

F = @(x,y) 4*√(x.^2+y.^2).*(1-x).*(1-y);δ= integral2 (F, 0 1 0,1)

δ= 0.5214

极坐标

切换到极坐标$r$和$\theta$。$\√{x^2+y^2}$项就是$r$，二重积分在$45^o$线附近有两个相等的二分之一，$\theta = \pi/4$。

δ/ 8 = $ $ \ \ int_0 ^{\π/ 4}\ int_0 ^ {\ sec{\θ}}r(第一轮\ cosθ}{\)(第一轮\ sinθ}{\)\ r \ mathrm} {d r \ mathrm {d} \θ$ $

象征性的集成

被积函数是$r$的多项式。

信谊rθ真正的F =扩大(r ^ 2 *(第* cos(θ))*(第* sin(θ)))

F = r²- r³sin() - r³cos() + r^4 cos() sin()

工具箱可以很容易地集成这个多项式。

内部= int (F, r, 0, sec(θ))

内部= 1 / (12 * cos(θ)^ 3)- sin(θ)/ (20 * cos(θ)^ 4)

工具箱还可以对$\theta$进行外部积分。

外= int(内部,θ,0,π/ 4)

外部= log(2^(1/2) + 1)/24 + 2^(1/2)/120 + 1/60

乘以8。

δ= 8 *外

等于log(2^(1/2) + 1)/3 + 2^(1/2)/15 + 2/15

生成一个乳胶将$\delta$剪切并粘贴到本帖中。

乳胶(δ);

数值

格式长δ=双(δ)

δ= 0.521405433164721

这是我的最终答案

下面是结果。

δ= $ $ \ \压裂{\ ln \离开大概{2}+ 1(\ \)}{3}+ \压裂{\ sqrt{2}}{15} + \压裂{2}{15}$ $

三个维度

那么三维空间呢?你期望在单位立方体中随机选择的两个点之间有多远?我将把它作为一个挑战，并邀请任何认为自己知道答案的人发表评论。

谢谢

多亏Presh Talwalkar给了我这个小礼物。

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发布与MATLAB®R2017a