的一个线性变换是线性代数的基本概念和矩阵分解在数值线性代数基本概念。吉尔斯特朗的2020年愿景的线性代数旨在介绍这些概念在线性代数入门课程。

的CR矩阵分解提供了一个视图rref,行简化阶梯形排名显示矩阵分解。我讨论了CR在一个一对的的帖子10月。我现在想描述出租车分解,它使用rref两次为了治疗行和列以同样的方式。

吉尔和我都对这些想法写一篇综述,卢和CR消除。这里是一个链接到当前的草案,LUCR_43.pdf。

内容

出租车

这是一个快速的描述出租车。

[C W B] =出租车()返回C =(:,关口),B =(行,:),W =(行,关口)这样

一个= C *发票(W) * B

[C W B,关口,行]=出租车(A)也回报指数关口和行。

的所有元素C,W和B从输入矩阵一个本身;C是它的一些列,B是它的一些行,W设置十字路口吗C和B。实际上,关口和行都是这个分解计算。列指标来自行简化阶梯形,rref (A)转置矩阵的行索引,rref(的)。

排名

这一事实的数量线性无关的一个矩阵的列数等于线性无关的行不是微不足道的,需要证明。这个数字是排名矩阵的满秩的大小W。

W是r-by-r排名(A) = r =长度(关口)=(行)。

如果你想找到C,W和R与一个W太小了,那么C *发票(W) * R将无法复制一个。如果W太大,它将奇异。

排一个

如果一个一位,一个= u * v '为列向量u和行向量v '。然后C是一个的倍数u,B是一个的倍数v ',W第一个非零元素在吗u或v。这是一个例子,第一行是故意零。

=(0:3)*(6节)

= 0 0 0 4 5 6 8 10 12 12 15 18

格式紧凑的[C W B] =出租车(A)

C = 0 4 8 12 W = 4 B = 4 5 6

二阶

在这个例子中,甚至临时检查会发现排名。请注意,一个是长方形的。

一个=重塑(桥、4、6)'

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21日22日23日24

[C W B,关口,行]=出租车(A)

C = 1 2 5 6 9 10 13 14 17 18 21 22 W = 1 2 5 6 B = 1 2 3 4 5 6 7 8关口= 1 = 1 2 2行

排名=长度(峡路)

排名= 2

满秩

如果一个广场和非奇异的,那么C = B = W =。

例如,

一个=帕斯卡(3)

3 = 1 1 1 1 2 3 1 6

[C W B] =出租车(A)

C = 1 1 1 1 2 3 3 1 6 W = 1 1 1 1 2 3 3 1 6 B = 1 1 1 1 2 3 3 1 6

富兰克林幻方

富兰克林半幻广场是本杰明•富兰克林在1752左右。富兰克林的一封信,他的一位同事包括在富兰克林论文引用。

富兰克林的广场的所有行和列所需的魔法笔,但是对角线不,所以矩阵并不是完全的魔力。魔法然而,许多其他有趣的子矩阵,包括弯曲对角线和任何八元素排列对称中心。

这个8-by-8矩阵的秩是什么?

一个=富兰克林(8)

4 = 52 61 13 20 29 36 45 14 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17

很难认为富兰克林的广场是一个线性变换,但是出租车仍然可以计算它的排名。

[C W B] =出租车(A)

C = 52 61 4 14 3 62 53 60 5 11 6 59 55 58 7 9 8 57 63 2 16 1 64 W = 52 61 4 61 3 62 53 60 5 B = 52 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44

所以,只有三个等级。

计算C *发票(W) * B介绍了舍入误差。

测试= C *发票(W) * B;显示器(“测试”)

测试= 52.00 61.00 4.00 13.00 20.00 29.00 36.00 45.00 14.00 3.00 62.00 51.00 46.00 35.00 30.00 19.00 53.00 60.00 5.00 12.00 21.00 28.00 37.00 44.00 11.00 6.00 59.00 54.00 43.00 38.00 27.00 22.00 55.00 58.00 7.00 10.00 23.00 26.00 39.00 42.00 9.00 8.00 57.00 56.00 41.00 40.00 25.00 24.00 50.00 63.00 2.00 15.00 18.00 31.00 34.00 47.00 16.00 1.00 64.00 49.00 48.00 33.00 32.00 17.00

舍入测试到最近的整数准确再现了富兰克林的幻方。

反斜杠和斜杠

计算C *发票(W) * B (C / W) * B或C * (W \ B)通常是更准确的。如果有整数元素,您可以试一试圆(C / W * B)或圆(C * (W \ B))。

这个5-by-5矩阵是故意这样等级的缺陷是不明显的。

一个=画廊(5)

= 9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

[C W B] =出租车(A)

C = 9 11 -21 63 70 -69 141 -421 -575 575 -1149 3451 3891 -3891 7782 -23345 1024 -1024 2048 -6144 W = 9 11 -21 63 70 -69 141 -421 -575 575 -1149 3451 3891 -3891 7782 -23345 B = 9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365

排名=大小(W, 1)

排名= 4

在这个例子中,W是温和的坏脾气的。

kappa =电导率(W)

k = 2.4301 e + 04

有三种方法可以再现一个。

invw = C *发票(W) * B;= (C / W) * B;前= C * (W \ B);

反演的相对误差是影响的条件W,而反斜杠和斜杠几乎五个数量级的更准确,

格式短erelerr =[规范(A-invw)规范(前)规范(一)]/规范(一)

relerr = 2.1266 3.7217 4.7760 e-13 e-18 e-17

舍入的任何三个整数繁殖一个完全正确。

=轮(C *发票(W) * B)

= 9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

Gauss-Jordan

计算的算法rref高斯消去法,数值分析社区有一个可疑的声誉。听后我试图描述算法的恶名,吉尔的介绍性的段落中写道我们的调查Gauss-Jordan是“昂贵的危险”。

“昂贵”部分是容易解释。的计算rref介绍了零在一列上方和下方的主元素,而高斯消去法只有0以下的主。更少的工作。我们可以测量计算复杂度的延时指令,菲利普-马萨,繁殖两个浮点值,然后添加一个第三值在一个操作的结果。大型n×n系统,Gauss-Jordan大约需要(1/2)n ^ 3],而高斯消去法需要更少,只有(1/3)n ^ 3]。

然而,我们不打算CR和出租车用于大型矩阵。就我们的目的而言,即使使用Gauss-Jordan并不贵两倍。

的“数值危险”部分Gauss-Jordan更为微妙的声誉。它的名字来源于求解一个线性系统A * x =通过计算rref一个增广矩阵,[b]。高斯消去法,另一方面,发现三角形的因素l和U然后计算x通过替换回来。我们可以说高斯消去法部分消除,而Gauss-Jordan完整的消除。比较了两种方法在1975年的论文Jim Wilkinson和格温•彼得斯下面的引用。高斯消去法几乎总是计算附近的一个系统的解决方案,但同样不能说Gauss-Jordan增广矩阵。

然而,我们不使用消除实际计算的形式出租车因素;rref只是选择指数。的矩阵C,W和B从出租车(A)余子式的一个。他们肯定是准确的。——有两个潜在的数值困难W可能是严重的条件也可能是错误的大小。

条件

如果一个是严重的?然后W继承条件。这是一个例子。开始

n = 12;U =眼睛(n, n) - triu ((n, n), 1)

U = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

U是严重的。电导率(U, 1)和电导率(U,正)都是等于n * 2 ^ (n - 1)。

让

一个= U ' * U

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 5 3 3 3 3 3 3 3 1 6 0 1 2 3 4 4 4 4 4 7 4 1 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 1 0 1 2 3 4 5 6 8 6 6 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 7 7 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12

一个是对称的,正定和满秩。的行列式一个等于1。我没有看到一个整洁的公式气孔导度(A),但我知道它生长4 ^ n。

自一个是满秩,它一个= C *发票(W) * B分解必须= *发票(A) *。

[C W B] =出租车(A);测试= [isequal (C) isequal (W) isequal (B, A))

测试逻辑数组1 1 1 = 1×3

W是严重的。发票(W)有大量的元素。

Winv =发票(W)

Winv =列1到6 87384 699051 349526 174764 1398102 43696 699051 349526 174763 87382 43692 21848 349526 174763 87382 43691 21846 10924 174764 87382 43691 21846 10923 5462 87384 43692 21846 10923 5462 2731 43696 21848 10924 5462 2731 1366 21856 10928 5464 2732 1366 683 10944 5472 2736 1368 684 342 5504 2752 1376 688 344 172 2816 1408 704 352 176 88 1536 768 384 192 96 48 1024 512 256 128 64 32列7到12 21856 10944 5504 2816 1536 1024 10928 5472 2752 1408 768 512 5464 2736 1376 704 384 256 2732 1368 688 352 192 128 1366 684 344 176 96 64 683 342 172 88 48 32 44 342 171 86 24 171 86 43 22 12 8 86 43 22 11 6 4 44 22日11 6 3 2 24 12 6 3 2 1 16 8 4 2 1 1

logWinv =地板(log2 (Winv))

logWinv = 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 9 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 8 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 7 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 6 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 5 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 4 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 11 10 9 8 7 10 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

的对角线logWinv从(n, n)来(1,1)。

Winv (1,1) > 4 ^ (n - 2)

ans =逻辑1

是一个接近一个矩阵的低秩吗?答案是肯定的,但低秩近似来自于圣言。

出租车和圣言

的圣言会是最终的排名揭示分解,但实际上它并不试图计算排名。

[U, V] =圣言(A)

计算一个全套的奇异值和向量矩阵满秩。奇异值,s =诊断接头(s)降序索引,

(1)> =。> = (r) > =年代(r + 1)。

你可以比较宽容的奇异值来获得一个近似等级和分解。

一个有效的选择是支持的Eckart-Young-Mirsky定理:如果基于“增大化现实”技术是近似由选择等级是多少r,

基于“增大化现实”技术= U (:, 1: r) * S (1: r, 1: r) * V (:, 1: r) '

标准误差是有界的第一项是省略了,

规范(A - Ar, 2) < = s (r + 1)

如果奇异值迅速下降,一个精确的低秩近似是可以实现的,只有一些术语。

另一方面,出租车选择基地从矩阵的列和行本身。没有Eckert-Young定理CR或出租车分解。

我们打算CR和出租车在课堂上使用小矩阵,通常与整数条目。我们将让计算和随机矩阵分解处理大的东西。

引用

本杰明·富兰克林,本杰明·富兰克林的论文,体积1750 - 53年,彼得歌。(美国哲学协会和耶鲁大学)p。392。https://franklinpapers.org/framedVolumes.jsp?vol=4&page=392a。

g·彼得斯和j·h·威尔金森,“与旋转高斯消去法的稳定”,ACM通讯18日,1975年,p . 20 - 24。https://dl.acm.org/doi/10.1145/360569.360653,也在http://www.stat.uchicago.edu/ lekheng /课程/ 302 / gauss-jordan2.pdf

附言

本·富兰克林也可以提供图形对于今天的职位。

一个=富兰克林(8);(~,~,B) =出租车(A);情节(B)

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2021a