我们将有一个两部分minisymposium“波西米亚矩阵”ICIAM2019工业与应用数学,国际大会瓦伦西亚,西班牙,7月15 - 19。这是我演讲的大纲。

内容

为什么“波西米亚”

五颜六色的名字“波西米亚矩阵”是抢劫的责任Corless和西安大略大学的史蒂文•桑顿。引用该网站。

这个项目处于早期阶段时,我们的重点是随机整数矩阵有界的高度。我们最初使用短语“有界高度整数矩阵特征值”指的是我们的工作。这导致了缩写BHIME这并不是太远从“波西米亚”。

MATLAB画廊

的画廊是一系列有趣的矩阵,在MATLAB中维护由尼克海厄姆。很多都是放荡不羁的,或者波西米亚竞争者。目录的集合是可用的

帮助gallery_

画廊海厄姆测试矩阵。着干活,out2,……]=画廊(matname param1、param2…)需要matname,一个字符串,该字符串是一个矩阵的名字家庭,和家里的输入参数。参见下面清单可用矩阵的家庭。大部分的函数接受一个输入参数,用于指定的顺序矩阵,除非另有说明,返回一个单一的输出。额外的信息,“帮助私人/ matname”型,matname矩阵的家人的名字。二项二项矩阵——对合矩阵的倍数。柯西柯西矩阵。chebspec切比雪夫光谱微分矩阵。chebvand Vandermonde-like切比雪夫多项式矩阵。 chow Chow matrix -- a singular Toeplitz lower Hessenberg matrix. circul Circulant matrix. clement Clement matrix -- tridiagonal with zero diagonal entries. compar Comparison matrices. condex Counter-examples to matrix condition number estimators. cycol Matrix whose columns repeat cyclically. dorr Dorr matrix -- diagonally dominant, ill-conditioned, tridiagonal. (One or three output arguments, sparse) dramadah Matrix of ones and zeroes whose inverse has large integer entries. fiedler Fiedler matrix -- symmetric. forsythe Forsythe matrix -- a perturbed Jordan block. frank Frank matrix -- ill-conditioned eigenvalues. gcdmat GCD matrix. gearmat Gear matrix. grcar Grcar matrix -- a Toeplitz matrix with sensitive eigenvalues. hanowa Matrix whose eigenvalues lie on a vertical line in the complex plane. house Householder matrix. (Three output arguments) integerdata Array of arbitrary data from uniform distribution on specified range of integers invhess Inverse of an upper Hessenberg matrix. invol Involutory matrix. ipjfact Hankel matrix with factorial elements. (Two output arguments) jordbloc Jordan block matrix. kahan Kahan matrix -- upper trapezoidal. kms Kac-Murdock-Szego Toeplitz matrix. krylov Krylov matrix. lauchli Lauchli matrix -- rectangular. lehmer Lehmer matrix -- symmetric positive definite. leslie Leslie matrix. lesp Tridiagonal matrix with real, sensitive eigenvalues. lotkin Lotkin matrix. minij Symmetric positive definite matrix MIN(i,j). moler Moler matrix -- symmetric positive definite. neumann Singular matrix from the discrete Neumann problem (sparse). normaldata Array of arbitrary data from standard normal distribution orthog Orthogonal and nearly orthogonal matrices. parter Parter matrix -- a Toeplitz matrix with singular values near PI. pei Pei matrix. poisson Block tridiagonal matrix from Poisson's equation (sparse). prolate Prolate matrix -- symmetric, ill-conditioned Toeplitz matrix. qmult Pre-multiply matrix by random orthogonal matrix. randcolu Random matrix with normalized cols and specified singular values. randcorr Random correlation matrix with specified eigenvalues. randhess Random, orthogonal upper Hessenberg matrix. randjorth Random J-orthogonal (hyperbolic, pseudo-orthogonal) matrix. rando Random matrix with elements -1, 0 or 1. randsvd Random matrix with pre-assigned singular values and specified bandwidth. redheff Matrix of 0s and 1s of Redheffer. riemann Matrix associated with the Riemann hypothesis. ris Ris matrix -- a symmetric Hankel matrix. sampling Nonsymmetric matrix with integer, ill conditioned eigenvalues. smoke Smoke matrix -- complex, with a "smoke ring" pseudospectrum. toeppd Symmetric positive definite Toeplitz matrix. toeppen Pentadiagonal Toeplitz matrix (sparse). tridiag Tridiagonal matrix (sparse). triw Upper triangular matrix discussed by Wilkinson and others. uniformdata Array of arbitrary data from standard uniform distribution wathen Wathen matrix -- a finite element matrix (sparse, random entries). wilk Various specific matrices devised/discussed by Wilkinson. (Two output arguments) GALLERY(3) is a badly conditioned 3-by-3 matrix. GALLERY(5) is an interesting eigenvalue problem. Try to find its EXACT eigenvalues and eigenvectors. See also MAGIC, HILB, INVHILB, HADAMARD, PASCAL, ROSSER, VANDER, WILKINSON.

的矩阵另请参阅线前可用画廊介绍了。我认为他们是画廊的一部分。

gallery5

我最喜欢的画廊的矩阵

G =画廊(5)

9 - 11 G = -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

我们计算它的特征值。

格式长eeig (G)

ans = -3.472940132398842 e-02 -3.472940132398842 + 2.579009841174434 e-02i e-02 1.377760760018629 - 2.579009841174434 e-02i e-02 1.377760760018629 + 4.011025813393478 e-02i e-02 4.190358744843689 - 4.011025813393478 e-02i e-02 + 0.000000000000000 e + 00

这些是多么准确?的特征值是什么?

我给这篇文章的读者,与会者在我说话的时候,一些时间来思考这些问题推迟到最后的答案。

triw

的triw矩阵表明,高斯消去法不能可靠地检测奇异点附近。

dbtype1:2私人/ triw

1函数T = triw (n,αk类名)2% triw上三角矩阵讨论了威尔金森和其他人。

n = 12;T =画廊(“triw”,n)

T = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

T已经是上三角。这是U自己的lu分解。因为没有小轴心对角线上,我们可能会得出结论T条件。然而,让

x = 2 ^ (- (1: n - 1)) ';格式老鼠x (n) = x (n - 1)

x = 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 1/2048 1/2048

这个向量是几乎零向量T。

Tx = T * x

Tx = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2048

1-norm条件的数量T至少是一样大吗

规范(x, 1) /规范(Tx, 1)

ans = 2048

这样的增长2 ^ n。

硅藻土

的硅藻土矩阵表明,对称的柯列斯基分解,正定矩阵不能可靠地检测奇异点附近。矩阵可以得到的画廊,

M =画廊(硅藻土的n);

或产生T,

格式短M = T ' * T

M = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 5 3 3 3 3 3 3 3 1 6 0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 1 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 7 8 1 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 7 7 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12

我很惊讶当尼克我的名字命名矩阵。代码中的注释表明他发现30岁的矩阵由我的一个朋友,约翰纳什。

dbtype九14私人/硅藻土

纳什[1]属性9%硅藻土的α= 1矩阵。参考:10% - 11% 12% [1]j·c·纳什,紧凑的计算机数值方法:线性代数和13%函数最小化,第二版,亚当•Hilger 14%,布里斯托尔1990(附录1)。

约翰不记得当他听说我的例子,我不记得在哪里或者我第一次看到它。

我们知道T应该是柯列斯基分解的米,但让我们确保。

断言(isequal(胆固醇(M), T))

我们已经看到,尽管它没有小的元素,T是严重的。米必须至少一样严重的条件T。事实上,它是更糟。一个好的提供了零向量

[~ v] = conde (M);

让我们来看看v与我们的x。他们几乎是相同的。

格式长[v、x]

ans = 0.500000178813913 0.500000000000000 0.250000089406957 0.250000000000000 0.125000223517391 0.125000000000000 0.062500469386522 0.062500000000000 0.031250949948913 0.031250000000000 0.015626905485761 0.015625000000000 0.007816313765488 0.007812500000000 0.003913878927961 0.003906250000000 0.001968383554413 0.001953125000000 0.001007079958072 0.000976562500000 0.000549316340766 0.000488281250000 0.000366210893844 0.000488281250000

的1-norm条件米至少是一样大吗

规范(v, 1) /规范(M * v, 1)

ans = 2.796202999840670 e + 06

事实证明,增长速度比4 ^ n。

卡亨

但等待,你说,使用列旋转。实际上,QR列旋转将检测的病态T或米。但是,卡亨矩阵的展览馆是一个版本T,新列都有几乎相同的标准。即使列旋转愚弄。

格式短K =画廊(“卡亨”7)

K = 1.0000 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 0.9320 -0.3377 -0.3377 -0.3377 -0.3377 -0.3377 0 0 0.8687 -0.3148 -0.3148 -0.3148 -0.3148 0 0 0 0 0 0 0 -0.2934 0.8097 -0.2934 -0.2934 0.7546 -0.2734 -0.2734 0.7033 - -0.2549 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6555

伐木工人

我很喜欢的伐木工人矩阵。

R =伐木工人

R = 611 196 -192 407 8 -52 -49 29 196 899 113 -192 -71 -43 899 -44 -192 113 196 61 49 8 52 407 -192 196 611 8 44 59 -23 8 -71 61 8 411 -599 208 208 -52 -43 49 44 -599 411 208 208 -49 8 8 59 208 208 99 -911 -44 -23 208 208 -911 99 52

QR算法的成功之前,伐木工人矩阵对矩阵特征值的程序来说是一个挑战。今天,我们可以用它来展示符号数学工具箱。

R =符号(R);p = charpoly (R,“x”)(p) e = f =因素解决(p)

p = x x ^ ^ 8 - 4040 * 7 + 5080000 * x ^ 6 + 5080000 * x x ^ ^ 5 - 5327676250000 * 4 + 4287904631000000 * x ^ 3 - 4287904631000000 * x ^ 2 + 106131000000000000 * x f = [x, x - 1020 x ^ 2 - 1040500, x ^ 2 - 1020 * 100 (x + x - 1000 x - 1000] e = 0 1000 1000 1020 510 - 100 * 26 ^ (1/2) 100 * 26 ^ (1/2) + 510 -10 * 10405 ^ (1/2) 10 * 10405 ^ (1/2)

合伙人

几年前,我完全惊讶当我碰巧计算非对称版本的希尔伯特矩阵的奇异值分解。

格式长n = 20;(I, J) = ndgrid (1: n);P = 1。/ (I - J + 1/2);圣言(P)

ans = 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589793 3.141592653589793 3.141592653589792 3.141592653589791 3.141592653589776 3.141592653589108 3.141592653567518 3.141592652975738 3.141592639179606 3.141592364762737 3.141587705293030 3.141520331851230 3.140696048746875 3.132281782811693 3.063054039559126 2.646259806143500 1.170504602453951

所有这些在哪里π的从何而来?西摩合作者能够解释这个矩阵之间的联系和Szego的经典定理在方波的傅里叶级数的系数。美术馆这个矩阵为画廊(“合伙人”,n)。

帕斯卡

我必须包括帕斯卡三角形。

帮助pascal_

帕斯卡帕斯卡矩阵。P =帕斯卡(N)是秩序的帕斯卡矩阵N P对称正定矩阵与整数条目,从帕斯卡三角形组成。它的逆整数条目。帕斯卡(N)。^是所有非负对称半正定r。P =帕斯卡(N, 1)是下三角柯列斯基因素(列)的迹象的帕斯卡矩阵。P是对合,也就是说,它是它自己的逆。P =帕斯卡(N, 2)是一个旋转的版本帕斯卡(N, 1),签署了如果N是偶数。P是一个单位矩阵的立方根。参考:n·j·海厄姆,准确性和稳定性的数值算法,第二版,工业与应用数学学会,费城,2002年,28.4秒。。

P =帕斯卡(12,2)

P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -55 -45 -36 -28 -21 -15 -10 6 3 1 0 0 165 120 84 56 35 20 10 4 1 0 0 0 -330 -210 -126 -70 -35 -15 5 1 0 0 0 0 462 252 126 56 21 6 1 0 0 0 0 0 -462 -210 -84 -28 330 1 0 0 0 0 0 0 120 36 8 1 0 0 0 0 0 0 0 -165 -45 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 55 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

这个符号模式和二项式系数的安排,P是一个身份的立方根。

我= P * * P

I = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

grcar

乔Grcar将给我们一个有趣的图形。

dbtype7:10私人/ grcar

引用7%:8% [1]j . f . Grcar算子系数线性方程组的方法,9%报告sand89 - 8691,桑迪亚国家实验室,1989年10%新墨西哥州阿尔伯克基(附录2)。

n = 12;Z =画廊(“grcar”,n)

Z = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

n = 100;Z =画廊(“grcar”n);e = eig (Z);情节(e,“o”)

gallery5

你计算的确切特征值吗画廊(5)了吗?记住,这个矩阵

G

9 - 11 G = -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

MATLAB说,特征值

e = eig (G)

e = -0.034729401323988 + 0.025790098411744我0.013777607600186 + -0.034729401323988 - 0.025790098411744 0.040110258133935 0.013777607600186 - 0.040110258133935我0.041903587448437 + 0.000000000000000

但是,看的权力G。自G整数条目(波西米亚),其条目可以计算没有舍入。第四权力

G ^ 4

ans = 0 0 0 0 0 -84 168 -420 1344 -5355 568 -1136 2840 -9088 36210 -3892 7784 -19460 62272 -248115 -1024 2048 -5120 16384 -65280

的五次方

G ^ 5

ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

所有的零。

的Cayley-Hamilton定理特征多项式必须告诉我们

x ^ 5

特征值,唯一这个多项式的根,是零代数多重性5。

MATLAB是有效地解决

x ^ 5=舍入

因此,计算特征值

x=(凑整)^ (1/5)

很难认出他们是零的扰动。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2018b