维基百科上关于帕斯卡三角形有数百个三角形的属性，还有数十个其他Web页面专门介绍它。以下是一些我觉得最有趣的事实。

内容

布莱斯•帕斯卡

布莱斯•帕斯卡(1623-1662)， 17世纪法国数学家、物理学家、发明家和神学家。他的Traité du triangle arithmétique（算术三角形论著)在他死后于1665年出版。但这并不是关于三角关系的第一次出版。在帕斯卡出现几个世纪之前，印度、中国、波斯、意大利和其他手稿中就出现了各种版本。

二项式系数

的二项式系数通常用${n} \choose {k}$表示，是从$n$可能中选择$k$无序结果的方法数。这些系数出现在二项式$(x+1)^n$的展开中。例如，当$n = 7$

信谊xn = 7;x7 =扩大((x + 1) ^ n)

x7 = x ^ 7 + 7 * x ^ 6 + 21 * x ^ 5 x ^ 4 + + 35 * 35 * x ^ 3 + 21 * x ^ 2 + 7 * x + 1

形式上，二项式系数由$${{n} \choose {k}} = \frac {n!} {k !(n - k) !}$但是阶乘的过早浮点溢出使其不能作为令人满意的计算基础。更好的方法是使用递归$$ {{n} \choose {k}} = {{n-1} \choose {k}} + {{n-1} \choose {k-1}}$这是由MATLAB函数使用的nchoosek (n, k)．

帕斯卡矩阵

MATLAB提供了两个Pascal矩阵。一个是对称的，正定的并且在反对角上有二项式系数。

P =帕斯卡(7)

P = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 7 28 126 252 462 84 210 462 924

另一个是下三角形，列中有二项式系数。(稍后我们将看到偶数列为什么有负号。)

L =帕斯卡(7,- 1)

L = 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 4 6 0 0 1 5 -10 5 1 0 1 6 15 -20 15 6 1

单独的元素是

P(i,j) = nchoosek(i+j-2,j-1)

和(暂时忽略负号)我通用电气\美元j

L (i, j) = nchoosek (j - 1张)

第一个有趣的事实是l(较低的)choolesky因子是P．

L =胆固醇(P)的

L = 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 4 6 0 0 1 5 10 10 5 1 0 1 6 15 20 15 6 1

所以我们可以重建P从l．

P = L * L '

P = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 7 28 126 252 462 84 210 462 924

帕斯卡三角形

传统的帕斯卡三角形是通过将P顺时针旋转45度，或者将L的行向右滑动一半来获得的。得到的三角形的每个元素都是上面两个元素的和。

triprint(左)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 15 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

恒等式的平方根

当偶数列l给出负号矩阵就变成了单位矩阵的平方根。

L =帕斯卡(n,1) l_²= L²

L = 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 4 6 0 0 1 5 -10 5 1 0 1 6 15 -20 15 6 1 L_squared = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

这是一个练习。是什么√眼(n))？为什么它不是l？

恒等式的立方根

当我第一次看到这个的时候，我很惊讶。L逆时针旋转。结果是恒等式的立方根。

X = rot90(L，-1) x_³= X^3

X = 1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 3 2 1 0 15 10 6 -20 -10 4 1 1 0 0 0 0 0 15 5 1 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X_cubed = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Sierpinski

哪些二项式系数是奇数?这是一种新兴的分形。

奇数= @(x) mod(x,2)==1;n = 56;L = abs (pascal (n, 1));间谍(奇数(L))标题(“奇(左)”）

斐波那契

反对角线的和l就是斐波那契数。

n = 12;一个= fliplr (abs (pascal (n, 1)))为if (diag(A,n-k)) = sum(diag(A,n-k));结束F

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 6 0 0 0 0 0 0 1 1 5 10 10 5 0 0 0 0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 0 0 0 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0 1 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 F = 11 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

π

下三角帕斯卡矩阵第三列的元素为三角形数．第n个三角形数是保龄球瓶数组中第n行中保龄球瓶的数量。$t_n = {{n+1} \choose {2}}$

L =帕斯卡(12日1);t = L(3:最终,3)'

T = 1 36 10 15 21 28 36 45 55

这里有一个不同寻常的数列，把三角形的数字和$\pi$联系起来。符号是+ + - - + + -。

π- 2 = 1 + 1/3 - 1/6 - 1/10 + 1/15 + 1/21 - 1/28 - 1/36 + 1/45 + 1/55 -…

类型pi_pascal

函数pie = pi_pascal(n) tk = 1;s = 1;For k = 2:n tk = tk + k;If mod(k+1,4) > 1 s = s +1 /tk;Else s = s - 1/tk;派= 2 + s;

1000万项使得$\pi$小数点后14位。

格式长Pie = pi_pascal(10000000) err = PI - Pie . pi_pascal(10000000

Pie = 3.141592653589817 err = -2.398081733190338e-14

矩阵指数

最后，我喜欢这个。常微分方程$x_j = e^t (t + 1)^{j-1}$(可能是无限)的解，即简单对角矩阵的矩阵指数

D =诊断接头(1:7,1)

D = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0

是

expm_D =圆(expm (D))

expm_D = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0 1 4 6 0 0 0 1 1 5 10 10 5 0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 1 7 21 35 35 21 7 1

谢谢

感谢尼克·海厄姆pascal.m，gallery.m和《n.j. Higham》第28.4节，数值算法的准确性和稳定性，第二版，SIAM, 2002。http://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9780898718027

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