我们将在“波希米亚矩阵”上有一个两部分的小符号ICIAM12019，7月15日至19日在西班牙巴伦西亚举行的国际工业和应用数学大会。这是我演讲的提纲。

目录

为什么是“波希米亚人”

多彩的名字“波希米亚矩阵”是西安大略大学Rob Corless和Steven Thornton的责任。引用网站.

当这个项目处于早期阶段时，我们的重点是有界高度的随机整数矩阵。我们最初使用短语“有界高度整数矩阵特征值”来指代我们的工作。这就产生了首字母缩写BHIME，它与“波希米亚人”并不遥远。

MATLAB图库

这个陈列室是一个有趣的矩阵集合，由Nick Higham在MATLAB中维护。其中许多是波西米亚人或波西米亚人。该集合的目录可从

帮助画廊_

GALLERY Higham测试矩阵。着干活,out2,……= GALLERY(matname, param1, param2，…)接受matname，这个字符串是矩阵族的名称，以及矩阵族的输入参数。请参阅下面的列表以获得可用的矩阵族。大多数函数接受指定矩阵顺序的输入参数，除非另有说明，否则返回单个输出。有关更多信息，请键入“help private/matname”，其中matname是矩阵族的名称。二项式二项式矩阵——对合矩阵的倍数。柯西柯西矩阵。契比雪夫谱微分矩阵。chebvand Vandermonde-like矩阵的切比雪夫多项式。 chow Chow matrix -- a singular Toeplitz lower Hessenberg matrix. circul Circulant matrix. clement Clement matrix -- tridiagonal with zero diagonal entries. compar Comparison matrices. condex Counter-examples to matrix condition number estimators. cycol Matrix whose columns repeat cyclically. dorr Dorr matrix -- diagonally dominant, ill-conditioned, tridiagonal. (One or three output arguments, sparse) dramadah Matrix of ones and zeroes whose inverse has large integer entries. fiedler Fiedler matrix -- symmetric. forsythe Forsythe matrix -- a perturbed Jordan block. frank Frank matrix -- ill-conditioned eigenvalues. gcdmat GCD matrix. gearmat Gear matrix. grcar Grcar matrix -- a Toeplitz matrix with sensitive eigenvalues. hanowa Matrix whose eigenvalues lie on a vertical line in the complex plane. house Householder matrix. (Three output arguments) integerdata Array of arbitrary data from uniform distribution on specified range of integers invhess Inverse of an upper Hessenberg matrix. invol Involutory matrix. ipjfact Hankel matrix with factorial elements. (Two output arguments) jordbloc Jordan block matrix. kahan Kahan matrix -- upper trapezoidal. kms Kac-Murdock-Szego Toeplitz matrix. krylov Krylov matrix. lauchli Lauchli matrix -- rectangular. lehmer Lehmer matrix -- symmetric positive definite. leslie Leslie matrix. lesp Tridiagonal matrix with real, sensitive eigenvalues. lotkin Lotkin matrix. minij Symmetric positive definite matrix MIN(i,j). moler Moler matrix -- symmetric positive definite. neumann Singular matrix from the discrete Neumann problem (sparse). normaldata Array of arbitrary data from standard normal distribution orthog Orthogonal and nearly orthogonal matrices. parter Parter matrix -- a Toeplitz matrix with singular values near PI. pei Pei matrix. poisson Block tridiagonal matrix from Poisson's equation (sparse). prolate Prolate matrix -- symmetric, ill-conditioned Toeplitz matrix. qmult Pre-multiply matrix by random orthogonal matrix. randcolu Random matrix with normalized cols and specified singular values. randcorr Random correlation matrix with specified eigenvalues. randhess Random, orthogonal upper Hessenberg matrix. randjorth Random J-orthogonal (hyperbolic, pseudo-orthogonal) matrix. rando Random matrix with elements -1, 0 or 1. randsvd Random matrix with pre-assigned singular values and specified bandwidth. redheff Matrix of 0s and 1s of Redheffer. riemann Matrix associated with the Riemann hypothesis. ris Ris matrix -- a symmetric Hankel matrix. sampling Nonsymmetric matrix with integer, ill conditioned eigenvalues. smoke Smoke matrix -- complex, with a "smoke ring" pseudospectrum. toeppd Symmetric positive definite Toeplitz matrix. toeppen Pentadiagonal Toeplitz matrix (sparse). tridiag Tridiagonal matrix (sparse). triw Upper triangular matrix discussed by Wilkinson and others. uniformdata Array of arbitrary data from standard uniform distribution wathen Wathen matrix -- a finite element matrix (sparse, random entries). wilk Various specific matrices devised/discussed by Wilkinson. (Two output arguments) GALLERY(3) is a badly conditioned 3-by-3 matrix. GALLERY(5) is an interesting eigenvalue problem. Try to find its EXACT eigenvalues and eigenvectors. See also MAGIC, HILB, INVHILB, HADAMARD, PASCAL, ROSSER, VANDER, WILKINSON.

中的矩阵另见我们以前有电话陈列室我认为他们是画廊的一部分。

厨房5

画廊里我最喜欢的矩阵是

G=画廊（5）

G = -9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

我们来计算它的特征值。

总体安排长的Eeig（G）

ans=-3.472940132398842e-02+2.579009841174434e-02i-3.472940132398842e-02-2.579009841174434e-02i 1.377760760018629e-02+4.011025813393478e-02i 1.377760760018629e-02-4.011025813393478e-02i 4.190358744843689e-02+0.000000000000000e+00i

这些有多精确？确切的特征值是什么？

我会给这篇文章的读者和我演讲的与会者一些时间来思考这些问题，把答案推迟到最后。

三轮车

这个三轮车矩阵表明高斯消去法不能可靠地检测到近奇异点。

数据库类型1:2二等兵/三等兵

1函数T=triw（n，alpha，k，classname）2%triw上三角矩阵，由Wilkinson等人讨论。

n = 12;T =画廊(“triw”，n）

1-1-1 1-1-1 0 0 0 0 0 0 1 1-1 0 0 1 1 1-1 1 1-1 1 1-1 1 1-1 1 1-1-1 1 1-1 1 1-1 1 1 0 0 0 0 0 1 1-1 1 1 1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1-1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1-1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1-1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1-1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1-1 1 1 1-1 1 1 1-1 1 1 1 1-1 1 1 1-1 1 1 1-1 1 1 1-1 1 1-1 1-1 1 1-1-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1-1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1

T已经是上三角形了。它是U其自身的LU分解。因为对角线上没有小的支点，我们可能会得出这样的结论T条件很好。但是，让我们

x=2.^（-1:n-1））；总体安排老鼠x（n）=x（n-1）

x=1/21/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 1/2048 1/2048

此向量几乎为空向量T.

Tx=T*x

Tx=0 0 0 0 1/2048

1-范数条件数T至少有

范数（x，1）/范数（Tx，1）

ans=2048

这种情况越来越严重2^n.

摩尔

这个摩尔矩阵证明了对称正定矩阵的Cholesky分解也不能可靠地检测附近的奇点。矩阵可以从图库中获取，

M=画廊(“摩尔人”，n）；

或者由T,

总体安排短的M=T'*T

M=1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2-3-3-3-1-1-2-3-4-4-1-1-2-4-4-5-1-1-1-2-5-6-1-1-1-2-3-6-7-7-1-1-1-2-3-8

当尼克以我的名字命名这个矩阵时，我很惊讶。代码中的注释表明他在我的一个朋友约翰·纳什写的一本30年的书中找到了这个矩阵。

数据库类型9:14私人/硅藻土

9%Nash[1]将ALPHA=-1矩阵归因于Moler。10%11%参考文献：12%[1]J.C.Nash，《计算机的紧凑数值方法：线性13%代数和函数最小化》，第二版，Adam Hilger，14%Bristol，1990年（附录1）。

约翰不记得他什么时候从我这里听说过这个例子，我也不记得我第一次在什么地方遇到它。

我们知道T应该是Cholesky分解的M，但让我们确定一下。

断言（等质量（chol（M），T））

我们已经看到,尽管它没有小的元素,，T他身体状况很差。M至少和T。事实上，情况更糟。一个好的空向量由

[~，v]=凝结水（M）；

让我们看看v与我们的x.他们几乎一样。

总体安排长的[v，x]

ans=0.500000178813913 0.50000000000000000.250000089406957 0.250000000000000000.125000223517391 0.1250000000000000.0625004693886522 0.06250000000000.0312509499448913 0.03125000000000 0.015626905485761 0.0156250000000000.007816313665488 0.00781250000000.00391387927961 0.0039062500000.0019683554413 0.00195312500000.00170958072.000976562500000 0.000549316340766 0.000488281250000 0.000366210893844 0.000488281250000

1-范数条件M至少有

范数（v，1）/范数（M*v，1）

ans=2.796202989840670E+06

事实证明，它的增长速度比4^n.

卡汉

但是等等，你说，使用列旋转。事实上，带有列旋转的QR将检测到T或M. 但是卡汉图库中的矩阵是的一个版本T，重新缩放，使所有列具有几乎相同的范数。即使是列旋转也被愚弄了。

总体安排短的K=画廊(“卡汉”,7)

K=1.0000-0.3624-0.3624-0.3624-0.3624-0.3624-0.3624-0.9320-0.3377-0.3377-0.3377-0.3377-0.3377-0.8687-0.3148-0.3148-0.3148-0.8097-0.2934-0.2934-0.2934-0.7546-0.2734-0.2734-0.7033-0.2540-0.650-0.55

罗瑟

我很喜欢这本书罗瑟矩阵.

R=rosser

R=611196-192 407-8-52-49 29196 899 113-192-71-43-8-44-192 113 899 196 61 49 8 52 407-192 196 611 8 44 59-23-8-71 61 8 411-599 208-52-43 49 44-599 411 208-49-8 59 208 99-911 29-44 52-23 208-911 99

在QR算法成功之前，Rosser矩阵是矩阵特征值例程的一个挑战。今天我们可以用它来展示符号数学工具箱。

R=sym（R）；p=charpoly（R，“x”)f=系数（p）e=求解（p）

p=x^8-4040*x^7+5080000*x^6+82518000*x^5-5327676250000*x^4+4287904631000000*x^3-108285212000000000*x^2+106131000000000000*x=x，x-1020，x^2-1040500，x^2-1020*x+100，x-1000，x-1000]e=0110001020510-100*26^（1/2）100*26^（1/2）+10405

伙伴

几年前，当我碰巧计算希尔伯特矩阵的非对称版本的奇异值分解时，我感到非常惊讶。

总体安排长的n=20；[I，J]=ndgrid（1:n）；P=1./（I-J+1/2）；奇异值分解（P）

ans=3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589793.141592653589793.141592653589792 3.141592653589791 3.141592653589776 3.141592653589108 3.141592653567518 3.141592652975738 3.1415926391796063.141592364762733.14158770552930303.141520858851233.1406960743.132285406256733.62567321.170504602453951

这些都在哪里圆周率他来自哪里？西摩合伙人能够解释这个矩阵和Szego关于方波傅里叶级数中系数的经典定理之间的联系。画廊将这个矩阵作为画廊（‘parter’，n）.

帕斯卡

我必须包括帕斯卡三角形.

帮助帕斯卡_

帕斯卡矩阵。P=PASCAL（N）是N阶PASCAL矩阵。P是由PASCAL三角形组成的带整数项的对称正定矩阵。其逆项具有整数项。PASCAL（N）。^r是所有非负r的对称半正定。P=PASCAL（N，1）是PASCAL矩阵的下三角Cholesky因子（直到列的符号）。P是对合的，也就是说，它是它自己的逆。P=PASCAL（N，2）是PASCAL（N，1）的旋转版本，如果N为偶数，则符号翻转。P是单位矩阵的立方根。参考文献：N.J.Higham，《数值算法的精度和稳定性》，第二版，工业和应用数学学会，费城，2002年，第二节。28.4.

P=帕斯卡（12,2）

P=-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11-10-9-8-6-5-4-3-2-1-0-55-45-36-28-21-15-10-6-3-1-0-0-1-0-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

有了这个符号模式和二项式系数的排列，P是标识的立方根。

我= P * * P

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

grcar

乔·格卡将给我们一幅有趣的图画。

数据库类型7:10私家车

7%参考文献：8%[1]J.F.Grcar，《线性方程的算子系数法》，9%报告SAND89-8691，桑迪亚国家实验室，新墨西哥州阿尔伯克基市，1989年（附录2）。

n=12；Z=画廊(“grcar”，n）

Z=11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0-11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

n = 100;Z =画廊(“grcar”，n）；e=eig（Z）；图（e），“哦”)

厨房5

你计算了这个方程的精确特征值了吗画廊（5）但是？记住，矩阵是

G

G = -9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

MATLAB说特征值是

e=eig（G）

e=-0.034729401323988+0.0257900098411744I-0.034729401323988-0.0257990098411744I 0.0137777600186+0.0401101258133935I 0.0137777600186-0.04011010258133935I 0.041903587448437+0.000000000000000i

但是，看看G. 自从G具有整数项（它是波希米亚式的），其项可以不使用舍入进行计算

G^4

ans=0 0-84 168-420 1344-5355 568-1136 2840-9088 36210-3892 7784-19460 62272-248115-1024 2048-5120 16384-65280

第五次方是

G^5

ans=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

都是零。

这个Cayley-Hamilton定理告诉我们特征多项式必须是

x^5

该多项式的唯一根特征值为零，代数重数为5。

MATLAB有效地解决了这一问题

x^5=舍入

因此，计算的特征值来自

x=（四舍五入）^（1/5）

很难将它们识别为零的扰动。

获取MATLAB代码

与MATLAB®R2018b一起发布