圣海伦火山和矩阵的秩之间有什么共同点?答案是MATLAB函数山峰。让我解释一下。请大家多担待,说来话长。

内容

圣海伦火山

圣海伦火山是一座活火山附近的喀斯喀特山脉波特兰,俄勒冈州和华盛顿州的西雅图,她有一个戏剧性的喷发在1980年5月。爆发四年后,我搬到俄勒冈州比弗顿,俄勒冈州加入英特尔剥离,是发展中世界的第一个商业并行计算机,iPSC。在俄勒冈州比弗顿的,我遇到了两个人美国泰克公司以示波器,然后试图进入计算机图形学。这些人,他们的名字我不记得了,正在策划一个像圣海伦火山的表面。表面最终成为了MATLAB函数山峰是两个变量的函数,证明是有用的冲浪,网,pcolor和轮廓。

small_fig清楚P =山峰;冲浪(P)轴紧

排名显示分解

两个月前,我写了一个博客关于排名揭示矩阵分解,很难想象的数组P我们获得山峰作为一个线性变换的表示和测试矩阵,但它是。事实上,任何正整数n,山峰(n)是一个n——- - - - - -n矩阵。默认的已n= 49。

我很惊讶当我发现任何n> 2的秩山峰(n)只有3。

rankP =等级(P)

rankP = 3

C *发票(W) * R

MATLAB的排名重要的非零奇异值,但是我们也可以尝试分解P = C *发票(W) * R。我们打算使用车只有在小矩阵整数条目。这P既不是小也不是整数,但这并不能阻止我们。车还发现等级是3。

[C W R] =汽车(P);谁

类属性名称大小字节C 49 x3 1176双P 49 x49 19208双R 1176双W 3 x3 72双rankP x49 1 x1 8双

49-by-3矩阵C的前三列P和3-by-49矩阵R的前三行吗P。3 x3的矩阵W是他们的十字路口,P (1:3, 1:3)。这三个矩阵是安全的到达火山喷发。他们在颜色。

d = 1;n = 49;r = 3;s =[补丁([一维n + d n + d一维一维],[一维一维r + d r + d - d], [d d d d d],“c”)补丁((一维r + d r + d一维一维],[一维一维n + d n + d - d], [d d d d d],“y”)补丁((一维r + d r + d一维一维],[一维一维r + d r + d - d], [d d d d d],“米”));传奇(年代,{“C”,“R”,' W '},“位置”,(。75。62。12。12]);

块C和R不会轻易透露他们包含足够的信息来重建整个表面吗P。

次要情节(2,1,1)情节(C,“。”,“线宽”,1“markersize”12)标题(“C”次要情节(2,1,2)情节(R ',“。”,“线宽”,1“markersize”12)标题(“R”)

山峰

这个函数山峰首先生成矩阵x和y样本区间连续实变量(3、3)。设置meshsizedx = 1/8导致n = 49。较小的网格大小导致更大的矩阵,但他们都有等级3。

dx = 1/8;(x, y) = meshgrid (3: dx: 3);

的核心山峰是这个公式,它必须像一个美国泰克人使用Mt。圣海伦火山并不明显,公式总是生成矩阵的低秩。

z = 3 * (1 - x) ^ 2。* exp (- (x ^ 2) (y + 1) ^ 2)。…- 10 * (x / 5 - x。^ 3 - y。^ 5)。* exp (- x ^ 2 y ^ 2)。…- * exp (1/3 (x + 1)。^ 2 - y ^ 2);

排名

这篇文章的其余部分是致力于证明排名(z) = 3。

这里有两个重要事实的秩和逐点的产品。s manbetx 845

特别是,如果A和B都是等级1,

再用形式表示

让我们提出指数使用这个函数。

E = @ (x) exp (- (x + a) ^ 2);

所以,这是z一次。

z = 3 * (1 - x) ^ 2。* E (x, 0)。* E (y, 1)…- 10 * (x / 5 - x。^ 3 - y。^ 5)。* E (x, 0)。* E (y, 0)…- - - - - - 1/3。* E (x) 1)。* E (y, 0);

让z1第一项。

z1 = (3 * (1 - x) ^ 2)。* E (x, 0)。* E (y, 1);

排名(z1) = 1因为z1是逐点的三个矩阵的乘积。没有金额。

让

zx = -10 * (x / 5 - x ^ 3)。* E (x, 0) - 1/3。* E (x, 1);zy = (10 * y ^ 5)。* E (x, 0);

排名(zx) = 1因为zx不涉及y。

排名(zy) = 1因为zy是一种逐点的产品。

z2 = (zx + zy)。* E (y, 0);

排名(z2) = (1 + 1) * 1 = 2

z = z2 z1 +;

排名(z) = 1 + 2 = 3

检查

我原来的P仍在工作区中。

检查=常模(P - z,正)

检查= 1.3517 e-14

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2020a