和Elias Wegert一起形象化平方根

发布的Ned排水沟，2020年3月11日,

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快点，-1的平方根是多少?好的,我知道。这很简单。那么√i呢?如果你已经有一段时间没有学过复分析了，你可能会有点挠头。幸运的是，MATLAB可以告诉我们。

i =√6 (1)

I = 0.0000 + 1.0000i

z =√我

Z = 0.7071 + 0.7071i

当然，这只是两个平方根中的一个。这个的负值也可以。

(z - z)。^ 2

ans =1×2复杂0.0000 + 1.0000i

但我们现在只讨论两个平方根中的一个。如果我们看看复平面上发生了什么，i和它的平方根之间的关系是什么?

情节([z]我,“啊——”，“线宽”, 2) drawUnitCircle

我们可以看到它沿着单位圆移动到0 + 1i和1 + 0i的中间点。

这表明了一种模式。让我们加入一些中间值。如果我们观察i的幂从1到0.5的整个范围会发生什么?

战俘= linspace (1, 0.5, 50);z =我;情节(z ^战俘,“线宽”, 2)在情节我√(i)),“o”，“线宽”，２，“颜色”，[0 0.4470 0.741]从

现在我们看到点i^n在1到0.5之间沿着单位圆移动。

我们看一些随机的点。

战俘= linspace (1, 0.5, 50);为N = 1:50 z = randn + i*randn;情节(z ^战俘)在结束持有从drawUnitCircle

如果我们考虑极坐标中的点

在每条曲线中，角除以2半径r等于根号下r，就像亚伯拉罕·德·莫弗告诉我们。

这只是一个宏伟的文件交换贡献的设置伊莱亚斯Wegert．因为我们现在面临的问题是:我们如何在一个单独的图形中，形象化这个平方根函数对整个复平面的影响?这是一个微妙的问题，有很多可能的答案。伊莱亚斯的代码,复函数的相图，为我们提供了多种方法。

这是一个例子。如果你像这样给复平面上色

z = zdomain (2-2i, 2 + 2);PhasePlot (z, z,' w '）；

square_roots_04

这就是开平方根后的结果。

PhasePlot z,√(z),' w '）；

square_roots_05

刚才发生了什么?动画在这里很有帮助。

这是从z到f(z)的变换。单位圆是重叠的。

square_roots_06

你可以看到这里正在进行一种“折叠”。这是一个完全相同的东西，用不同的视觉上色。

square_roots_07

哪种可视化效果最好?这得由你来决定。以利亚让你从21个选择中选择!

一旦你用平方根这样的简单函数建立起胃口，毫无疑问，你会想尝试更强的食物。

往后站，不要让你的手指接触复杂的平面，否则你可能会受伤。这是

z = zdomain (2-2i, 2 + 2);W = (z.^2 -1).*(z + 2-1i)^2 ./ (z.^2 + 2-2i)PhasePlot (z, w,“c”）；

square_roots_08

Yowza !现在，你可能已经准备好下载伊莱亚斯的作品了复杂的美女日历．去看看吧。你不会失望的!我特别喜欢2017年9月的金兹堡-兰道方程(它有一个很好的chebfun搭配)。

最后，我们应该注意到MATLAB附带了它自己的函数来显示复根。下面是我们自己的cplxroot函数。通过将答案的实分量表示为z轴上的高度，这种可视化让我们可以表示多值结果，比如

．

square_roots_09

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