线性（LTI）型号

什么是植物？

通常，控制工程师通过开发他们想要控制的动态系统的数学描述来开始。要控制的系统被称为a植物。作为工厂的一个例子，本节使用DC电机。该部分开发描述具有惯性负载的DC电动机的机电特性的微分方程。然后，它向您展示如何使用控制系统工具箱™功能基于这些方程构建线性模型。

线性模型表示

您可以使用“控制系统”工具箱功能来创建以下模型表示：

表格的状态空间模型（SS）

$\begin{array}{l} \frac{D. X}{D. T.} = 一种 X + B. 你 \\ y = C X + D. 你 \end{array}$

在哪里一种那B.那C，和D.是适当尺寸的矩阵，X是个状态矢量，和你和y是输入和输出向量。
例如，传递函数（TF），

$H （ S. ） = \frac{S. + 2}{{S.}^{2} + S. + 10.}$
例如，零极化增益（ZPK）模型，

$H （ Z. ） = 3. \frac{（ Z. + 1 + j ）（ Z. + 1 - j ）}{（ Z. + 0.2 ）（ Z. + 0.1 ）}$
频率响应数据（FRD）模型，由系统频率响应的采样测量组成。例如，您可以在FRD模型中存储实验收集的频率响应数据。

笔记

FRD模型的设计是一个专门的主题，这个主题没有地址。看频率响应数据（FRD）模型讨论这个主题。

Siso示例：直流电机

DC电动机驱动惯性负载的简单模型显示了负载的角度率， $ω. （ T. ）$ ，作为输出和施加电压， $υ_{一种 P. P.} （ T. ）$ 作为输入。该示例的最终目标是通过改变施加的电压来控制角速率。该图显示了DC电机的简单模型。

驱动惯性负载的直流电动机的简单模型

在该模型中，电机本身的动态是理想化的;例如，假设磁场是恒定的。电路的电阻由R和电枢的自电感通过L表示。如果您不熟悉DC电机建模的基础知识，请在物理建模上咨询任何基本文本。通过这种简单的模型和基本的物理定律，可以开发描述该机电系统行为的微分方程。在该示例中，电势和机械力之间的关系是法拉第的感应法和Ampère的律法，用于穿过磁场的导体上的力。

数学推导

扭矩 $τ.$ 在电动机的轴上看到与电流成比例一世由施加的电压引起，

$τ. （ T. ） = {K.}_{m} 一世（ T. ）$

在哪里K._m，电枢常数与电动机的物理性质有关，例如磁场强度，导体线圈周围的匝数等等。背面（诱导）电动势， $υ_{E. m F}$ ，与角速率成比例的电压 $ω.$ 在轴上看到，

$υ_{E. m F} （ T. ） = {K.}_{B.} ω. （ T. ）$

在哪里K._B.，EMF常数，也取决于电动机的某些物理性质。

电动机方程的机械部分是使用牛顿的法律来源的，这使得惯性负载j乘以角速率的衍生物等于电机轴的所有扭矩的总和。结果是这个等式，

$j \frac{D. W.}{D. T.} = σ. {τ.}_{一世} = - {K.}_{F} ω. （ T. ） + {K.}_{m} 一世（ T. ）$

在哪里 ${K.}_{F} ω.$ 是粘性摩擦的线性近似。

最后，可以描述电动机方程的电气部分

$υ_{一种 P. P.} （ T. ） - υ_{E. m F} （ T. ） = L. \frac{D. 一世}{D. T.} + R. 一世（ T. ）$

或者，解决施加的电压并替换后部EMF，

$υ_{一种 P. P.} （ T. ） = L. \frac{D. 一世}{D. T.} + R. 一世（ T. ） + {K.}_{B.} ω. （ T. ）$

该方程序列导致一组两个微分方程描述了电动机的行为，首先是诱导电流的，

$\frac{D. 一世}{D. T.} = - \frac{R.}{L.} 一世（ T. ） - \frac{{K.}_{B.}}{L.} ω. （ T. ） + \frac{1}{L.} υ_{一种 P. P.} （ T. ）$

而第二个是由此产生的角速率，

$\frac{D. ω.}{D. T.} = - \frac{1}{j} {K.}_{F} ω. （ T. ） + \frac{1}{j} {K.}_{m} 一世（ T. ）$

直流电机的状态空间方程

考虑到最后一节中派生的两个微分方程，您现在可以开发DC电机作为动态系统的状态表示。当前一世和角度率ω.是系统的两个状态。施加的电压， $υ_{一种 P. P.}$ ，是系统的输入，以及角速度ω.是输出。

$\frac{D.}{D. T.} [\begin{matrix} 一世 \\ ω. \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{R.}{L.} & - \frac{{K.}_{B.}}{L.} \\ \frac{{K.}_{m}}{j} & - \frac{{K.}_{F}}{j} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 一世 \\ ω. \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{L.} \\ 0. \end{matrix}] \cdot υ_{一种 P. P.} （ T. ）$

直流电机示例的状态空间表示

$y （ T. ） = [\begin{matrix} 0. & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 一世 \\ ω. \end{matrix}] + [0.] \cdot υ_{一种 P. P.} （ T. ）$

建立SISO模型

开发一套后描述您的工厂的微分方程，您可以使用简单的命令构建SISO模型。以下部分讨论

构建直流电机的状态空间模型
在模型表示之间转换
创建传递函数和零/极/增益模型

构建直流电机的状态空间模型

输入DC电机的各种参数的以下标称值。

r = 2.0％欧姆L = 0.5％Henrys km = .015％扭矩常数Kb = .015％EMF常数Kf = 0.2％NMS J = 0.02％KG.M ^ 2

鉴于这些值，您可以使用该值构造数值状态空间表示SS.功能。

a = [-r / l -kb / l;KM / J -KF / J] B = [1 / L;0];c = [0 1];d = [0];sys_dc = ss（a，b，c，d）

这些命令返回以下结果：

A = x1 x2 x1 -4 -0.03 x2 0.75 -10 b = u1 x1 2 x2 0 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0

在模型表示之间转换

既然您有DC电机的状态空间表示，您可以转换为其他模型表示，包括传输函数（TF）和零/极/增益（ZPK）模型。

传递函数表示。您可以使用TF.从状态空间表示转换为传递函数。例如，使用此代码转换为DC电机的传输功能表示。

sys_tf = tf（sys_dc）

转移功能：1.5 --------------- S ^ 2 + 14 s + 40.02

零/极/增益表示。同样，ZPK.函数从状态空间转换为零/极/增益格式的传输函数表示。使用此代码从状态空间表示转换为直流电机的零/杆/增益表。

sys_zpk = zpk（sys_dc）零/杆/增益：1.5 -----------------（s + 4.004）（s + 9.996）

笔记

状态空间表示最适合数值计算。为了最高精度，在组合模型之前转换为状态空间，避免传递函数和零/极/增益表示，除了模型规范和检查。

构建传递函数和零/极/增益模型

在DC电动机示例中，状态空间方法产生一组代表模型的矩阵。如果选择不同的方法，可以使用相应的模型使用TF.那ZPK.那SS.，要么FRD.。

sys = tf（num，deN）％转移函数sys = zpk（z，p，k）％零/极/增益sys = ss（a，b，c，d）％状态空间sys = frd（响应，频率）％频率响应数据

例如，您可以通过使用此代码指定分号和分母来创建传输功能。

sys_tf = tf（1.5，[14 40.02]）转移功能：1.5 --------------- S ^ 2 + 14 s + 40.02

或者，如果要直接创建DC电机的传输功能，请使用这些命令。

s = tf（'s'）;sys_tf = 1.5 /（s ^ 2 + 14 * s + 40.02）

这些命令导致此传输功能。

转移功能：1.5 ----------------- S ^ 2 + 14 s + 40.02

要构建零/极/增益模型，请使用此命令。

sys_zpk = zpk（[]，[ -  9.996 -4.004]，1.5）

此命令返回以下零/极/增益表示。

零/杆/增益：1.5 -----------------（S + 9.996）（S + 4.004）

构建离散时间系统

控制系统工具箱软件为离散时间系统提供全面支持。万博1manbetx您可以以与您创建模拟系统的方式相同的方式创建离散系统;唯一的区别是您必须为您构建的任何型号指定示例时间段。例如，

sys_disc = tf（1，[1]，.01）;

以传输功能格式创建SISO模型。

传递功能：1 ----- Z + 1采样时间：0.01

将时间延迟添加到离散时间模型

您可以通过在构建模型时指定输入延迟，输出延迟或I / O延迟来增加时间延迟到离散时间模型。时间延迟必须是表示样本时间的倍数的非负整数。例如，

sys_delay = tf（1，[1 1]，0.01，'iodelay'，5）

返回一个系统，I / O延迟为5秒。

传递功能：1 Z ^（ -  5）* ----- Z + 1采样时间：0.01

将延迟添加到线性模型

您可以通过在构建模型时指定输入延迟，输出延迟或I / O延迟来向线性模型添加时间延迟。例如，要将I / O延迟添加到DC电机，请使用此代码。

sys_tfdelay = tf（1.5，[14 40.02]，'iodelay'，0.05）

此命令构造DC电机传输功能，但增加了0.05秒延迟。

转移功能：1.5 exp（-0.05 * s）* ---------------- S ^ 2 + 14 s + 40.02

有关将时间延迟添加到模型的更多信息，请参阅线性系统的时间延迟。

LTI对象

为方便起见，控制系统工具箱软件使用自定义数据结构LTI对象存储与模型相关的数据。例如，变量sys_dc.为直流电机示例创建称为SS对象。还有TF，ZPK和FRD对象分别用于传递函数，零/极/增益和频率数据响应模型。四个LTI对象封装了模型数据，使您能够以单个实体为线性系统操作，而不是作为向量或矩阵的集合。

要查看LTI对象包含的内容，请使用得到命令。此代码描述了内容sys_dc.从直流电机示例。

获取（SYS_DC）A：[2×2双] B：[2×1双] C：[0 1] D：0 e：[]缩放：0 stateName：{2×1个单元} stateUnit：{2×1Cell} InternalDelay：[0×1双]输入：0 OutputDelay：0 TS：0 oneUnit：'秒'InputName：{''} InputUnit：{''} InputGroup：[1×1结构] OutputName：{''}OutputUnit：{''} OutputGroup：[1×1 struct]注意：[0×1字符串] userdata：[]名称：''samplinggrid：[1×1 struct]

您可以使用LTI对象中包含的数据放命令;有关说明，请参阅控制系统工具箱在线参考页面放和得到。

设置或检索LTI模型属性的另一种方便方法是使用点表示法直接访问它们。例如，如果要访问的值一种矩阵，而不是使用得到，你可以键入

sys_dc.a.

在Matlab.^®迅速的。这个表示法返回一种矩阵。

ANS = -4.0000 -0.0300 0.7500 -10.0000

同样，如果要更改值的值一种矩阵，您可以直接这样做，因为此代码显示。

a_new = [-4.5 -0.05;0.8 -12.0];sys_dc.a = a_new;

也可以看看

SS.|TF.|ZPK.