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选择一个ODE求解器

常微分方程

一个常微分方程(ODE)包含一个或多个因变量的导数，y，对于单个自变量，t，通常称为时间。这里用来表示的导数的符号y关于t是 $y ＇$ 对于一阶导数， $y ＇＇$ 对于二阶导数，等等。的订单的最高阶导数y它出现在方程中。

例如，这是一个二阶ODE:

$y ＇＇＝ 9 y$

在一个初值问题， ODE从初始状态开始求解。利用初始条件， $y_{0}$ ，以及需要一段时间才能得到答案， $（ t_{0} ， t_{f} ）$ ，迭代求解。在每一步，求解器都对前一步的结果应用特定的算法。在这样的第一步，初始条件提供了必要的信息，允许进行集成。最后的结果是ODE求解器返回一个时间步长的向量 $t ＝［ t_{0} ， t_{1} ， t_{2} ，．．．， t_{f} ］$ 以及每一步对应的解决方案 $y ＝［ y_{0} ， y_{1} ， y_{2} ，．．．， y_{f} ］$ ．

类型的常微分方程

MATLAB中的ODE求解器^®解决这些类型的一阶ode:

显式ode的形式 $y ＇＝ f （ t ， y ）$ ．
这种形式的线性隐函数 $米（ t ， y ） y ＇＝ f （ t ， y ）$ ,在那里 $米（ t ， y ）$ 是一个非奇异质量矩阵。质量矩阵可以是与时间或状态相关的，也可以是常数矩阵。线性隐式ode涉及的是的一阶导数的线性组合y，它们被编码在质量矩阵中。
线性隐式ode总是可以转化为显式形式， $y ＇＝米^{- 1} （ t ， y ） f （ t ， y ）$ ．然而，直接向ODE求解器指定质量矩阵可以避免这种转换，这是不方便的，可能是计算昂贵的。
如果某些成分 $y ＇$ 是缺失的，那么方程被调用了微分代数方程，或dae，并且dae系统包含一些代数变量．代数变量是方程中没有导数的因变量。通过对方程组求导，消去代数变量，可将一阶ode方程组改写为一阶ode的等价方程组。将DAE重写为ODE所需的导数数称为微分索引。的ode15s和ode23t求解器可以解决index-1 dae。
形式的完全隐式ode $f （ t ， y ， y ＇）＝ 0$ ．完全隐式ode不能以显式形式重写，可能还包含一些代数变量。的ode15isolver是为完全隐式问题设计的，包括index-1 dae。

属性可以为某些类型的问题的求解器提供附加信息odeset函数创建一个选项结构。

系统的常微分方程

您可以指定任意数量的耦合ODE方程来求解，原则上，方程的数量只受可用计算机内存的限制。如果方程组有n方程,

$（ \begin{matrix} y ＇_{1} \\ y ＇_{2} \\ ⋮ \\ y ＇_{n} \end{matrix} ）＝（ \begin{matrix} f_{1} （ t ， y_{1} ， y_{2} ，．．．， y_{n} ） \\ f_{2} （ t ， y_{1} ， y_{2} ，．．．， y_{n} ） \\ ⋮ \\ f_{n} （ t ， y_{1} ， y_{2} ，．．．， y_{n} ） \end{matrix} ），$

然后对方程进行编码的函数返回一个带有的向量n元素，对应于 $y ＇_{1} ， y ＇_{2} ，．．．， y ＇_{n}$ ．例如，考虑二元方程组

$｛ \begin{array}{l} y ＇_{1} ＝ y_{2} \\ y ＇_{2} ＝ y_{1} y_{2} - 2 ． \end{array}$

编码这些方程的函数是

函数myODE(t,y) = myODE(t,y)dy (2) = y y (1) * (2) 2;

高阶常微分方程

MATLAB ODE求解器只解决一阶方程。您必须使用泛型替换将高阶ode重写为一阶方程的等价系统

$\begin{array}{l} y_{1} ＝ y \\ y_{2} ＝ y ＇ \\ y_{3.} ＝ y ＇＇ \\ ⋮ \\ y_{n} ＝ y^{（ n - 1 ）} ． \end{array}$

这些替换的结果是一个n一阶方程

$｛ \begin{array}{l} y ＇_{1} ＝ y_{2} \\ y ＇_{2} ＝ y_{3.} \\ ⋮ \\ y ＇_{n} ＝ f （ t ， y_{1} ， y_{2} ，．．．， y_{n} ）． \end{array}$

例如，考虑三阶ODE

$y ＇＇＇ - y ＇＇ y + 1 ＝ 0.$

使用替换

$\begin{array}{l} y_{1} ＝ y \\ y_{2} ＝ y ＇ \\ y_{3.} ＝ y ＇＇ \end{array}$

结果是等价的一阶系统

$｛ \begin{array}{l} y ＇_{1} ＝ y_{2} \\ y ＇_{2} ＝ y_{3.} \\ y ＇_{3.} ＝ y_{1} y_{3.} - 1. \end{array}$

这个方程组的代码如下

函数y(1) = y(2);dydt (2) = y (3);dydt (3) = y y (3) (1) * 1;

复杂的常微分方程

考虑复ODE方程

$y ＇＝ f （ t ， y ），$

在哪里 $y ＝ y_{1} + 我 y_{2}$ ．求解时，将实部和虚部分离成不同的解分量，最后将结果重新组合。概念上，这看起来像

$\begin{array}{l} y v ＝［真正的（ y ）图像放大（ y ）］ \\ f v ＝［真正的（ f （ t ， y ））图像放大（ f （ t ， y ））］． \end{array}$

例如，如果ODE是 $y ＇＝ y t + 2 我$ ，则可以使用函数文件表示该方程。

定义接受并返回复数值f = y的函数。

然后，分离实部和虚部的代码是

函数阵线= imaginaryODE (t,青年志愿)%由实分量和虚分量构造yY = yv(1) + i*yv(2);%计算函数值yp = complexf (t、y);%分别返回实值和虚值阵线=[真实(yp);图像放大(yp)];

当你运行求解器来得到解，初始条件y0也分为实部和虚部，为每个解分量提供一个初始条件。

y0 = 1 + i;yv0 =[真实(y0);图像放大(y0)];Tspan = [0 2];[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

一旦你得到了解，将实部和虚部结合起来得到最终结果。

Y = yv(:，1) + i*yv(:，2);

基本求解器的选择

数值在大多数ODE问题中表现良好，通常应该是您的首选解算器。然而,ode23和ode113可以比数值对于精度要求较松或较紧的问题。

一些ODE问题刚度，或评价困难。刚度是一个无法精确定义的术语，但一般来说，当问题中某个地方的缩放存在差异时，刚度就会出现。例如，如果一个ODE有两个解组件，它们在完全不同的时间尺度上变化，那么这个方程可能是僵硬的。如果一个问题不是僵硬的解决者(例如数值)无法解决问题或速度极慢。如果您观察到非刚性求解器非常慢，请尝试使用刚性求解器，例如ode15s代替。当使用刚性求解器时，您可以通过提供雅可比矩阵或其稀疏模式来提高可靠性和效率。

该表提供了关于何时使用每个不同求解器的一般指南。

解算器	问题类型	精度	什么时候使用
`数值`	该方法	媒介	大多数时候。`数值`应该是你第一个尝试解决问题的人。
`ode23`		低	`ode23`可以比`数值`在粗公差或中度硬度存在的问题上。
`ode113`		低到高	`ode113`可以比`数值`在有严格的误差容忍度的问题上，或者当ODE函数的计算代价很高时。
`ode15s`	僵硬的	低到中等	试一试`ode15s`当`数值`失败或效率低下，你怀疑问题是僵硬的。也使用`ode15s`在求解微分代数方程(DAEs)时。
`ode23s`		低	`ode23s`可以比`ode15s`在粗公差问题上。它可以解决一些棘手的问题`ode15s`不是有效的。 `ode23s`计算每一步的雅可比矩阵，因此通过提供雅可比矩阵是有益的`odeset`最大限度地提高效率和准确性。如果有质量矩阵，它一定是常数。
`ode23t`		低	使用`ode23t`如果问题只是中等刚度，你需要一个没有数值阻尼的解。 `ode23t`能解微分代数方程。
`ode23tb`		低	就像`ode23s`,`ode23tb`解算器可能比`ode15s`在粗公差问题上。
`ode15i`	全隐式	低	使用`ode15i`对于完全隐式问题f (t、y, y”)＝0对于指数为1的微分代数方程(DAEs)。

有关何时使用每个求解器的详细信息和进一步建议，请参见［5］．

ODE示例和文件的摘要

有几个示例文件可以作为大多数ODE问题的极佳起点。运行微分方程的例子应用程序，它可以让你轻松地探索和运行示例，输入

odeexamples

要打开单独的示例文件进行编辑，输入

编辑exampleFileName.m

要运行示例，输入

exampleFileName

该表包含可用的ODE和DAE示例文件的列表，以及它们使用的求解器和选项。文档中还包含了直接发布的示例子集的链接。

示例文件	解算器使用	选项指定	描述	文档链接
`amp1dae`	`ode23t`	`“质量”`	刚性DAE -具有常数奇异质量矩阵的电路	求解刚性微分代数方程
`ballode`	`ode23`	`“事件”` `“OutputFcn”` `“OutputSel”` `“完善”` `“InitialStep”` `“MaxStep”`	简单的事件地点-弹跳球	歌唱活动的位置
`batonode`	`数值`	`“质量”`	带有与时间和状态相关的质量矩阵运动的棒的ODE	- - - - - -
`brussode`	`ode15s`	`“JPattern”` `矢量化的`	棘手的大问题——化学反应中的扩散(布鲁塞尔)	解决刚性常微分方程
`burgersode`	`ode15s`	`“质量”` `“MStateDependence”` `“JPattern”` `“MvPattern”` `“RelTol”` `“AbsTol”`	采用移动网格技术求解了具有强状态依赖质量矩阵的ODE - Burgers方程	- - - - - -
`fem1ode`	`ode15s`	`“质量”` `“MStateDependence”` `的雅可比矩阵`	含时质量矩阵的刚性问题-有限元法	- - - - - -
`fem2ode`	`ode23s`	`“质量”`	用定质量矩阵-有限元法求解刚性问题	- - - - - -
`hb1ode`	`ode15s`	- - - - - -	刚性ODE问题是在很长时间间隔罗伯逊化学反应上解决的	- - - - - -
`hb1dae`	`ode15s`	`“质量”` `“RelTol”` `“AbsTol”` `矢量化的`	刚性，线性隐式DAE来自守恒定律-罗伯逊化学反应	用半显式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`ihb1dae`	`ode15i`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `的雅可比矩阵`	僵硬的，完全隐式的DAE - Robertson化学反应	用隐式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`iburgersode`	`ode15i`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `的雅可比矩阵` `“JPattern”`	隐式ODE系统- Burgers方程	- - - - - -
`kneeode`	`ode15s`	`非负的`	非负性约束的“膝盖问题”	非负的颂歌的解决方案
`orbitode`	`数值`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `“事件”` `“OutputFcn”`	高级事件地点-限制三体问题	歌唱活动的位置
`rigidode`	`数值`	- - - - - -	非刚性问题-无外力刚体的欧拉方程	解决该常微分方程
`vdpode`	`ode15s`	`的雅可比矩阵`	可参数化范德波尔方程(对于大的刚性μ）	解决刚性常微分方程