最大重叠离散小波变换——尺度波动

小波变换有许多不同的变体。本例重点介绍最大重叠离散小波变换（MODWT）。MODWT是二进（二次幂）上的非抽样小波变换量表是财务数据中经常使用的一种，时间序列分析的MODWT的一个很好的特点是按比例划分数据方差。为了说明这一点，考虑1947年Q1到2011Q4的季度链加权美国实际GDP数据。年度差异。使用“db2”小波获得实际GDP数据的MODWT，将其降至第六级。检查数据的方差，并将其与使用MODWT获得的按比例的方差进行比较。

负载GDPExampleData；realgdpwt=modwt（realgdpw，“db2”vardata=var（realgdp，1）；varwt=var（realgdpwt，1,2）；

在里面瓦尔达你有GDP总时间序列的方差瓦特你有MODWT的按比例的方差瓦特因为您获得的MODWT下降到第六级，导致六个小波系数方差和一个缩放系数方差。按比例求和方差以确保方差保持不变。忽略缩放系数方差，按比例绘制小波方差。

totalMODWTvar=总和（varwt）；bar（varwt（1:end-1，：））AX=gca；AX.XTickLabels={'[2 4)','[4 8)','[8 16)','[16 32)','[32 64)','[64 128)'}；xlabel(“四分之一”)伊拉贝尔(“差异”)头衔(“小波尺度方差”)

因为这些数据是季度性的，所以第一个量表记录了两到四个季度之间的变化，第二个量表记录了四到八个季度之间的变化，第三个量表记录了八到十六个季度之间的变化，依此类推。

从MODWT和一个简单的条形图中可以看出，在8和32个季度之间的数据周期是GDP数据中最大的方差。如果考虑这些尺度上的小波方差，它们占GDP数据的可变性的57%，这意味着GDP的振荡在2到8年期间占大多数T。他在时间序列中看到了可变性。

大节制——用MODWT测试波动性的变化

小波分析通常可以揭示总体数据中不明显的波动性变化。

helperFinancialDataExample1（真实GDP，年份，“美国实际GDP同比增长”)

阴影区域被称为“大缓和”，表示从20世纪80年代中期开始，美国宏观经济波动性下降。

通过检查总体数据，我们不清楚这一时期的波动率是否确实有所降低。使用小波分析，首先使用“db2”小波对实际GDP数据进行多分辨率分析，直到第6级。

realgdpwt=modwt（realgdpw，“db2”6.“反思”)；gdpmra=modwtmra（realgdpwt，“db2”,“反思”);

绘制一级详细信息D1。这些详细信息捕获了持续时间在两到四个季度之间的数据波动。

helperFinancialDataExample1（gdpmra（1，：），年份，...“与去年同期相比，美国实际GDP-D1”)

检查一级细节，似乎在大缓和时期方差有所减少。

测试一级小波系数的显著方差变化点。

[pts_Opt，kopt，t_est]=wvarchg（realgdpwt（1,1:numel（realpod）），2）；年（pts_Opt）

ans=持续时间142年

1982年确定了一个方差变化点。该示例不纠正“db2”小波在一级引入的延迟。但是，该延迟仅为两个样本，因此不会明显影响结果。

为了评估1982年前后GDP数据波动性的变化，将原始数据分为变动点前后的序列。获取前后数据集的小波变换。在这种情况下，序列相对较短，因此使用Haar小波最小化边界系数的数量。按比例计算小波方差的无偏估计并绘制结果。

tspre=realgdp（1:pts_Opt）；tspost=realgdp（pts_Opt+1:end）；wtpre=modwt（tspre，“哈尔”，5）；wtpost=modwt（tspost，“哈尔”，5）；prevar=modwtvar（wtpre，“哈尔”,“桌子”)；postvar=modwtvar（wtpost，“哈尔”,“桌子”)；xlab={“[2Q，4Q]”,“[4Q，8Q]”,“[8Q，16Q]”,“[16Q，32Q]”,“[32Q，64Q]”}；helperFinancialDataExampleVariancePlot（prevar、postvar、，“桌子”，xlab）标题(“小波尺度方差”)；传奇(‘1982年前第二季度’,‘1982年后第二季度’,“位置”,“西北”);

从前面的图中可以看出，1982年第二季度之前和1982年第二季度之后的方差在2到16个季度之间存在显著差异。

由于本例中的时间序列很短，因此使用偏差方差估计可能很有用。偏差估计不会删除边界系数。使用具有四个系数的“db2”小波滤波器。

wtpre=modwt（tspre，“db2”5.“反思”)；wtpost=modwt（tspost，“db2”5.“反思”)；prevar=modwtvar（wtpre，“db2”,0.95,“估计类型”,“有偏见的”,“桌子”)；postvar=modwtvar（wtpost，“db2”,0.95,“估计类型”,“有偏见的”,“桌子”)；xlab={“[2Q，4Q]”,“[4Q，8Q]”,“[8Q，16Q]”,“[16Q，32Q]”,“[32Q，64Q]”}；图；helperFinancialDataExampleVariancePlot（prevar、postvar、，“桌子”，xlab）标题(“小波尺度方差”)；传奇(‘1982年前第二季度’,‘1982年后第二季度’,“位置”,“西北”);

结果证实了我们最初的发现，即在2到16个季度的范围内，波动性降低表现出极大的缓和。

GDP成分数据的小波相关分析

您还可以使用小波按比例分析两个数据集之间的相关性。检查政府支出和私人投资的总体数据之间的相关性。这些数据涵盖了与实际GDP数据相同的时期，并以完全相同的方式进行转换。

[rho，pval]=corrcoef（私人投资公司，govtexp）；

政府支出和个人投资表现出-0.215的微弱但在统计上显著的负相关。使用MODWT重复此分析。

wtPI=modwt（私人投资，“db2”5.“反思”)；wtGE=modwt（govtexp，“db2”5.“反思”)；wcorrtable=modwtcorr（wtPI、wtGE、，“db2”,0.95,“反思”,“桌子”)；显示（wcorrtable）

词表表6 6 6 6 6 6 6 6 6表6 6 6 6 6 6 6表6 6 6 6 6表6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6表6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6表6 6 6 6 6 6 6下下一层，下一层，下一层，下一层，下一层，下一层，下一层，下一层，上一层，上一层，下一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，下一层，下一层，下一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层，上一层71 D3239-0.62443-0.35248-0.0043207 0.047857 0.35175 D4 215-0.70466-0.32112 0.20764 0.22523 0.82773 D5 167-0.63284 0.129650.76448 0.75962 1 S5 167-0.63428 0.12728 0.76347 0.76392 1

MODWT可用的多尺度相关性仅在尺度2上显示出显著的负相关性，对应于数据中4到8个季度之间的周期。即使在调整多重比较时，这种相关性也仅略微显著。

多尺度相关分析表明，总体数据中的轻微负相关是由数据在四到八个季度范围内的行为驱动的，当你在不同的时间段（尺度）上考虑数据时，没有显著的相关性。

小波互相关序列——超前和滞后变量

在金融数据中，变量之间往往有一种超前或滞后的关系。在这种情况下，研究互相关序列以确定一个变量相对于另一个变量的滞后是否最大化了它们的互相关是有用的。消费支出和国内私人投资总额。

piwt=modwt（私人投资，“fk8”，5）；pcwt=modwt（pc，“fk8”，5）；图；modwtcorr（piwt，pcwt，“fk8”)

在2-4个季度内，个人支出和个人投资呈负相关。在较长的尺度上，个人支出和个人投资之间存在较强的正相关。在代表2-4个季度周期的尺度上检查小波互相关序列。

[xcseq，xcseqci，lags]=modwtxcorr（piwt，pcwt，“fk8”)；zerolag=floor（numel（xcseq{1}）/2）+1；plot（lags{1}（zerolag:zerolag+20），xcseq{1}（zerolag:zerolag+20））；保持在…上；plot（lags{1}（zerolag:zerolag+20），xcseqci{1}（zerolag:zerolag+20，：），“r——”)；xlabel(‘滞后（四分之一）’)；网格在…上；头衔(“小波互相关序列--[2Q，4Q）”);

最精细尺度的小波互相关序列在滞后四分之一时显示出峰值正相关。这表明个人投资滞后于个人支出四分之一。

美国通货膨胀率的连续小波分析

使用离散小波分析，您仅限于二进尺度。当使用连续小波分析时，这一限制被消除。

加载1961年5月至2011年11月的美国通货膨胀率数据。

负载通货膨胀；图表（年，通货膨胀）AX=gca；AX.XTick=1962:10:2011；标题(“消费物价指数通胀——1961年至2011年”)轴心牢固的网格在…上；xlabel(“年”)

在时间数据中，一个缓慢的振荡出现在20世纪70年代初，到80年代末似乎消失。

为了描述波动增加的周期，使用解析Morlet小波获得数据的连续小波变换（CWT）。

cwt（通货膨胀，“爱”，年（1/12））；AX=gca；AX.XTick=8/12:10:596/12；AX.XTickLabels=yr（整轮（AX.XTick*12））；

CWT揭示了通胀率数据在大约4-6年的范围内最强烈的波动。这种波动在1980年代中期开始消散，其特点是通胀逐渐降低，波动向较长时期转移。1970年代至1980年代初的强波动周期是20世纪70年代能源危机（石油冲击）的后果，导致主要工业经济体滞胀（增长停滞和通货膨胀）。见[1]用于对这些和其他宏观经济数据进行基于CWT的深入分析。该示例再现了该论文中更广泛和更详细分析的一小部分。

结论

在本例中，您学习了如何使用MODWT分析金融时间序列数据中的多尺度波动性和相关性。该示例还演示了如何使用小波检测过程随时间的波动性变化。最后，该示例展示了如何使用CWT来描述金融时间序列中波动性增加的时期。参考文献提供了关于小波在金融数据和时间序列分析中应用的更多细节。

附录

本例中使用了以下辅助函数。

*helperFinancialDataExample1

*helperFinancialDataExampleVariancePlot

*HelperCWTimeReqPlot