虽然我是工作在我的帖子左右贬义阀组当我发现三倍克罗内克产品的特征值计算过程中舍入错误产生的有趣模式时，我感到很高兴。s manbetx 845

内容

克罗内克产品

通过$ A表示的两个矩阵$ A $和$ B $，所述的克罗内克积\ otimes B $，并通过计算克隆亚麻(A, B)是包含$B$元素与$A$元素的所有可能乘积的大矩阵。s manbetx 845

$ $ \ otimes B = \离开(\{数组}{rrrr}开始现代{1 1}B &现代{1,2}B &……a_{1,n}B \ a_{2,1}B & a_{2,2}B &…a_{2,n}B \\…\\ a_{m,1}B & a_{m,2}B &…& a_{m,n}B \end{array} \right) $$

两个矩阵$ A \ otimes B $和$ B \ otimes一个$是不相等的，虽然他们在不同的顺序相同的元素。

两个矩阵$ A \ otimes（B \ otimes C）$和$（A \ otimes B）\ otimes C $是相等的。这是三克罗内克积，$ A \ otimes乙\ otimes C $。

A$ \o乘以B$的特征值是A$和B$的特征值的所有可能的乘积。s manbetx 845

例子

例如，假设$A$是一个神奇的方块。

$$ A = \left(\begin{array}{rrr} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array} \right) $$

和$ I $是单位矩阵。

$$ I = \左（\ BEGIN {阵列} {RR} 1 0 \\ 0＆1 \ {端阵列} \右）$$

那么$I \o乘以A$就是块对角线上的$A$的副本。

$ $我左\ otimes A = \ \{数组}{rrrrrr}开始8 & 1 & 6 & 0 & 0 & 0 \ \ 3 & 5 & 7 & 0 & 0 & 0 \ \ 4 & 9 & 2 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 8 & 0 & 0 & & 1 & 6 \ \ 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 7 \ \ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 & 2 \结束数组{}\右)$ $

和$ A \ otimes I $有$ A $沿对角线多个分布的元素。

$$ A \ otimes I = \左（\ BEGIN {阵列} {RRRRRR} 8 0 1＆0＆6＆0 \\ 0 8＆0＆1＆0 6 \\ 3 0＆5＆0＆7＆0 \\ 0 3＆0＆5＆0 7 \\ 4 0 9＆0＆2＆0 \\ 0 4＆0＆9＆0 2 \ {端阵列} \右）$$

的特征值都$ A \ otimes I $ $和I \ otimes一个$是$ A $的特征值的多个副本。

A =魔法（3）;I =眼（2）;eig_A = EIG（A）eig_IxA = EIG（KRON（I，A））= eig_AxI EIG（KRON（A，I））

eig_A = 15.000000000000004 4.898979485566361 -4.898979485566358 eig_IxA = 15.000000000000004 4.898979485566361 -4.898979485566358 15.000000000000004 4.898979485566361 -4.898979485566358 eig_AxI = 4.898979485566356 -4.898979485566355 15.000000000000002 - 14.999999999999998 4.898979485566359 - -4.898979485566356

高多重性的特征值

我们的积木是多项式的同伴矩阵

$ $ $ $ ^ p (s ^ 2 - 1)

展开涉及二项式系数。例如,p= 4,

$ $ (s ^ 2 - 1) ^ 4 = s ^ 8 - 4 s ^ 6 + 6 s ^ 4 - 4 s ^ 2 + 1 $ $

这是矩阵的特征多项式

A =伴随（4）

A = 0 4 0 -6 0 4 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

的特征值一个+1和-1是重复的吗p倍;这是他们的代数重。其几何重只有一个;它们每个只有一个特征向量。

特征值对任何类型的误差都非常敏感，包括舍入误差。

格式长E = EIG（A）

E = -1.000063312800363 + 0.000063312361825i -1.000063312800363  -  0.000063312361825i -0.999936687199636 + 0.000063313248591i -0.999936687199636  -  0.000063313248591i 1.000078270656946 + 0.000000000000000i 0.999999997960933 + 0.000078268622898i 0.999999997960933  -  0.000078268622898i 0.999921733421185 + 0.000000000000000i

确切的特征值可以被回收

确切=圆（e）中

精确= -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

计算出的特征值位于复平面上的圆上，以精确的值为圆心，半径大致为p-舍入误差的第th根。在本例中，以+1为中心的值碰巧比以-1为中心的值稍微准确一些。

half_fig eigplot (e) eigplot (+ 1, e)

菲德勒同伴矩阵

对传统伙伴矩阵的一种替代方法是菲德勒友矩阵。

A =伴随（4，菲德勒的）

= 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

这一次特征值以相反的顺序计算，那些在-1处的更准确。

E = EIG（A）

e = 1.000107000301506 + 0.000000000000000我1.000000000805051 + 0.000107001107366 1.000000000805051 - 0.000107001107366 0.999892998088390 0.000000000000000 -1.000062156379228 + 0.000000000000000 + -0.999999990704846 + 0.000062147083463我-0.999999990704846 - 0.000062147083463我-0.999937862211083 + 0.000000000000000

e = flipud (e);half_fig eigplot (e) eigplot (+ 1, e)

三重克罗内克产品

我们的图形TKP涉及$ķ$，三重克罗内克矩阵产品

$$ K = A \ otimes I \ otimes乙$$

其中A$和B$是多项式$(s^2-1)^p$和$(s^2-1)^r$而$I$是q$ -by- q$单位矩阵。

p，q和r的值由控制设定。最初它们是相等的，以4,3和2 $ $ķ的大小为三种尺寸的四倍的产物，N = 4pqr。计算时间为$ O（N ^ 3）$。正超过约4000大值是可能的，但速度缓慢。

K的特征值的一半等于+1另一半等于-1，所以这些特征值有很高的多重性并且对舍入误差非常敏感。显示器显示计算出的特征值与精确的特征值之间的差异。$K$的结构使这些错误在复杂平面的许多不同圆上产生具有刺激性的图案。

两种同伴矩阵具有不同舍入行为是可能的。传统的友矩阵有一个上Hessenberg矩阵的第一行中的所有多项式系数。的费德勒伴随矩阵具有设置在超级和五对角矩阵的子对角线系数。

TKP

这就是计算的核心。完整的程序与控制是可在这里:tkp.m。

函数TKP（P，Q，R）A =伴随（P）;I =眼（Q）;B =伴侣（R）;K = KRON（A，KRON（I，B））;E = EIG（K）;确切= ROUND（E）;ERR = E  - 确切;积（ERR，''）结束

函数X =同伴(p)对于c = conv(c，[10 -1]);结束M = 2 * P;X = [ -  C（2：M + 1）;眼（M-1，M）];结束

得到MATLAB代码

发布时间与MATLAB®R2019b