多项式和矩阵的Pejorative歧管，第2部分

张贴了克里尔那2020年1月30日

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在1972年一份未发表的技术报告《保护汇流抑制病态状态》中，Velvel Kahan创造了这个描述性术语贬义的廖．如果你不在日常对话中使用它，贬义的意思是“表达蔑视或不赞成”。

Velvel的报告涉及具有多个根的多项式，通常被认为是蔑视的，因为它们是如此糟糕的条件。但是Velvel的关键观察是，虽然多根根对任意扰动敏感，但它们对保护多重性的扰动不敏感。

第1部分多项式。这一部分是关于矩阵特征值的。

内容

歧管

Pejorative歧管$ \ mathcal {m} $现在是所有6×6个矩阵的集合，其中包含多个矩阵，在$ \ lambda $ = 3.这些是严重的限制，当然和$ \ mathcal {M} $是所有矩阵集的一组微小的子集。但如果我们停留在$ \ mathcal {m} $之内，生活并不差不多。

两个矩阵

矩阵的jordan规范形式是Bidiagonal，对角线上的特征值和1's和0在超对角线上。在我们这里的情况下，具有多个M的每个特征值M在超级涂布中具有1个具有1的单一MY-BY-M jordan块。用于不同特征值的Jordan块在超对角线上分开零。

我们的第一个矩阵有一个3 × 3的块，$\lambda$ = 3，然后是一个1 × 1的块，$\lambda$ = 2，最后是一个2 × 2的块，$\lambda$ = 1，所以对角线是

d = [3 3 3 2 1 1];

超对角线是

J = [1 1 0 0 1];

这里是

J1 = DIAG（J，1）A1 = DIAG（D）+ J1

J1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 00 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

我们的第二个矩阵移动一个超对角线元素以交换$ \ lambda $ = 2和$ \ lambda $ = 1的多个。

A2 = diag([3 3 3 2 2 1]) + J2

J2 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A2 = 3 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1

构建了这两个矩阵以具有两个多项式我的最后一篇文章作为特征多项式。无需计算零，它们位于对角线上。

p1 = charpoly（a1，'）;p2 = charpoly (A2,'）;

$ $ p1 = s ^ 6-13 \ s ^ 5 + 68 \ s ^ 4 - 182 \ s ^ 3 + 261 \ s ^ 2 - 189 \ s + 54 $ $

$$ p2 = s ^ 6-14 \，s ^ 5 + 80 \，s ^ 4-238 \，s ^ 3 + 387 \，s ^ 2-324 \，s + 108 $$

凸组合

凸线性组合将重量放在叠加和对角线的新特征值上。

格式短a = 1/3 * a1 + 2/3 * a2

A = 3.000 1.0000 0000 00 3.0000 1.0000 0000 3.0000 0000 00 2.0000 0.6667 0000 1.6667 0.3333 0000 0000 1.0000

特征多项式

让我们检查特征多项式与我们最后一次的第三多项式相同。

p3 = charpoly (,'）;

$$ p3 = s ^ 6- \ frac {41 \，s ^ 5} {3} +76 \，s ^ 4- \ frac {658 \，s ^ 3} {3} +345 \，s ^ 2-279 \，s + 90 $$

阴谋

三种多项式的曲线显示三根root比双根更敏感，这是又比任何简单根更敏感。

plot_polys（p1，p2，p3）

相似性转型

相似性转换保留，但伪装，特征值。因为它很好，我去年12月的博客文章中的HPL-AI矩阵HPL-AI基准．

格式短M = HPLAI (6,1)

M = 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.2000 1.1667 0.1429 0.1250 0.1110 0.1000 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.3333 0.2500 0.111.1667 0.1429 0.1250 0.2000 1.1667 0.1250 0.20 1.1667 0.1250 0.200 0.5000 0.333 0.2500 0.2000 0.333 0.2500 0.2000 0.333 0.2500 0.2000 1.1667

是的女士

以下是我们如何在Matlab中进行相似性转换。

b = m * a / m

B = 3.0610 1.1351 0.0899 -0.1695 -0.1178 -0.2053 0.0405 3.1519 1.1018 -0.1919 -0.1296 -0.2244 0.1360 0.2922 3.2144 -0.1402 -0.0745 -0.1867 0.1096 0.3808 0.2786 1.8527 0.6013 -0.1919 0.2839 0.6709 0.4447 -0.1222 1.6349 0.1467 1.5590 1.5424 0.7469 -0.1300 -0.04490.7517

特征值

这对特征值做了什么？

格式长E = EIG（b）

E = 1.99999999999999999 + 0.000000000000000i 3.000006294572211 + 0.000000000000000i 2.999996852713897 + 0.0000005451273553i 2.999996852713897 - 0.000005451273553i

单根几乎没有移动。带有重3的根受到精度的粗略立方根的干扰。

格式短E3 = E（4：6） -  3;R3 = ABS（E3）圈（E3）

R3 = 1.0E-05 * 0.6295 0.6295 0.6295

特征向量

那个特征向量呢？

[V ~] = eig (B);imagV = image (V) realV = real(V)

imagV = 1.0 e-05 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3705 - -0.3705 0 0 0 0 0.0549 -0.0549 0 0 0 0 0.0678 -0.0678 0 0 0 0 0.0883 -0.0883 0 0 0 0 0.1225 -0.1225 realV = -0.0601 -0.0519 -0.0904 -0.6942 0.6942 0.6942 -0.0664 -0.0590 -0.1017 -0.1190 0.1190 0.1190 -0.0742 -0.0683 -0.1162 -0.1487 0.1487 0.1487 -0.3413 -0.9310 -0.9488 -0.1983 0.1983 0.1983 0.2883 0.3258-0.1627 -0.2975 0.2975 0.2975 -0.8870 -0.1275 -0.2033 -0.5950 0.5950 0.5950

最后两个矢量具有小的虚部，其真实组件与第四向量几乎相同。所以只有前四列V.是良好的特征向量。我们看B.,因此一种，是有缺陷的．它没有完整的线性无关的特征向量集。

特征值的状况

帮助CONDEIG.格式短E.Kappa = condeig（b）

关于特征值的条件数。CONDEIG(A)是A特征值的条件数向量，这些条件数是左、右特征向量夹角余弦的倒数。[V,D] = CONDEIG(A)等价于:[V,D] = EIG(A);s = CONDEIG(一个);大的条件数意味着A在具有多个特征值的矩阵附近。类支持输入A万博1manbetx: float: double, single参见COND。condeig文件condeig kappa = 1.6014e+00 2.9058e+00 2.9286e+00 1.3213e+10 1.3213e+10 1.3213e+10

仔细看看这些数字——前3个10的幂是0，而后3个是10。这证实了前三个特征值是条件良好的，而第四个则不是。

约旦规范形式

一种几乎是它自己的JCF，所以这并不奇怪。

a_jcf = jordan（a）

A_JCF = 3.0000E + 00 1.0000E + 00 0 0 0 0 0 3.0000E + 00 1.0000E + 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.6660 0 0 0 0 0 0 1.6667+00 0 0 0 0 0 0 0 2.0000E + 00

但是关于B.？通过精确计算，它将具有相同的JCF。

格式短E.b_jcf =约旦（b）;real_b_jcf = real（b_jcf）imag_b_jcf = imag（b_jcf）

real_b_jcf = 1.0000e + 00 0 0 0 0 0 0 1.6667E + 00 0 0 0 0 0 0 2.0000E + 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.0000e + 00 0 0 0 00 0 3.0000E + 00 IMAG_B_JCF = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.7873e-0 0 0 0 0 0 0 0 2.7873e-06.

计算的JCF是对角线。然而，这是一个事实的例子约当标准形式不能计算．还要看看golub和wilkinson.．

节奏继续…

当我尝试这个时，我即将说明帖子的尽头。我当时没有意识到它，但使用HPL-AI矩阵的“随机”相似性转变具有一些欢迎后果。该矩阵的元素是小整数的比率。

m = sym（m）

m = [7/6,1 / 7,1 / 8,1 / 9,1 / 10,1 / 11] [1/5,7 / 6,1 / 7,1 / 8,1 / 9,1 / 7 /10] [1/4,1 / 5,7 / 6,1 / 7,1 / 8,1 / 9] [1/3,1 / 4,1 / 5,7 / 6,1 / 7,1 /8] [1/2,1 / 3,1 / 4,1 / 5,7 / 6,1 / 7] [1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5,7 / 6]

元素一种也是小整数的比例。

符号（a）

ans = [3,1，0,0,0,0] [0,3,1，0，0，0] [0,0,3,0,0,0] [0,0,0,2，2/3,0] [0,0,0,0,5 / 3,1 / 3] [0,0,0,0,0,1]

元素发票(M)是大型整数的比例，但我不必向他们展示，因为我们不会倒置m，甚至象征性地。而不是我们使用向前斜线计算相似度变换。

b = m * a / m;

元素B.也是大型整数的比率。让我们看看第一列;其他列是相似的。

B1 = B（：，1）

B1 =1718872313588352715分之52615342402439271411718872313588352715分之69679116377352174343774462717670543分之4673887396726086026444189439820811分之2898457606578534343774462717670543分之976022627792141161718872313588352715分之2679724812276211392

JCF.

通过这种确切的象征性计算，特征多项式B.是P3.．

charpoly（b，'）

ans = s ^ 6  - （41 * s ^ 5）/ 3 + 76 * s ^ 4  - （658 * s ^ 3）/ 3 + 345 * s ^ 2  -  279 * s + 90

结果，JCF的B.是正确的。

约旦（B）

ans = [1,0,0,0,0,0] [0,5 / 3,0,0,0,0] [0,0,2,0,0,0] [0,0,0，3,1，0，0,3,1] [0,0,0,0,0,3]

象征性的特征向量

符号版本的第三个输出参数eig.是一个矢量，其长度是线性独立的特征向量的数量。这是总和几何多重．在这种情况下，它是4。

[V, E、k] = eig (B)

V = [11/27,463 / 6831,4 / 9,7 / 6] [25/54,31 / 414,1 / 2,1 / 5] [15/28,485 / 5796,4 / 7,1/ 4] [460/63,1115 / 2898,14 / 3,1 / 3] [-23/9，-157 / 483,4 / 5,1 / 2] [1,1,1,1] E =[5/3,0,0,0,0,0] [0,1,0,0,0,0] [0,0,2,0,0,0] [0,0,0,3，0，0] [0，0,0,0,3,0] [0，0,0,0,0,3] k = 1 2 3 4

检查

验证特征向量是否有效。

bv = b * v ve_k = v * e（k，k）

BV = (55/81, 463/6831, 8/9, 7/2) (125/162, 31/414, 3/5) (25/28, 485/5796, 8/7, 3/4) [2300/189, 1115/2898, 28/3, 1] [-115/27, -157/483, 8/5, 3/2] [5/3, 1, 2, 3] VE_k =(55/81, 463/6831, 8/9, 7/2)(125/162, 31/414, 3/5)(25/28, 485/5796, 8/7, 3/4)[2300/189, 1115/2898, 28/3, 1][-115/27, -157/483, 8/5, 3/2](5/3, 1、2、3)