在1972年一份未发表的技术报告“保护汇流抑制病态”中，Velvel Kahan创造了描述性术语贬义流形. 如果你不在日常对话中使用它，贬义的意思是“表示蔑视或反对”。

Velvel的报告关注的是具有多重根的多项式，这种多项式通常被轻视，因为它们的条件太糟糕了。但Velvel的关键观察是，尽管多重根对任意扰动很敏感，但它们对保持多重性的扰动不敏感。

第1部分是关于多项式的。这部分是关于矩阵特征值的。

内容

管汇的

贬义流形$\mathcal{M}$现在是所有6 × 6矩阵的集合，这些矩阵在$\lambda$ = 3处具有重数为3的特征值。当然，这些都是严格的限制，而且$\mathcal{M}$是所有矩阵集的一个小子集。但如果我们保持在$ mathcal{M}$范围内，生活就远没有那么残酷了。

两个矩阵

矩阵的约当标准形式是双对角的，特征值在对角线上，1和0在超对角线上。在我们这里的情况下，每个多重性为m的特征值在超对角线上都有一个m × m的约当块。不同特征值的约当块在超对角线上被一个0隔开。

我们的第一个矩阵有一个3乘3的块$\lambda$=3，然后是一个1乘1的块$\lambda$=2，最后是一个2乘2的块$\lambda$=1，所以对角线是

D = [3 3 3 2 1 1];

超对角线是

J = [1 1 0 0 1];

在这里

J1 = diag(j,1) A1 = diag(d) + J1

j - 1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A1 = 3 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

第二个矩阵移动一个超对角线元素来交换$\lambda$ = 2和$\lambda$ = 1的乘数。

J2=diag（[1 1 0 1 0]，1）A2=diag（[3 3 2 1]）+J2

J2=01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A2=31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

这两个矩阵是由两个多项式构成的我的上一个帖子特征多项式。不需要计算0，它们在对角线上。

p1 = charpoly (A1,“年代”); p2=charpoly（A2，“年代”）;

$$p1=s^6-13\，s^5+68\，s^4-182\，s^3+261\，s^2-189\，s+54$$

$ $ p2 = s ^ 6日至14日\ s ^ 5 + 80 \ s ^ 4 - 238 \ s ^ 3 + 387 \ s ^ 2 - 324 \ s + 108 $ $

凸组合

凸线性组合赋予超对角线的权值和对角线的新特征值。

格式短的A = 1/3* a1 + 2/3* a2

A=3.0000 1.0000 0 0 0 0 3.0000 1.0000 0 0 0 0 3.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.6667 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000

特征多项式

我们来检查一下特征多项式是否和我们上次学过的第三个多项式相同。

p3=charpoly（A，“年代”）;

$ $ p3 = s ^ 6 - \压裂{41 \ s ^ 5} {3} + 76 \ s ^ 4 - \压裂{658 \ s ^ 3} {3} + 345 \ s ^ 2 - 279 \ s + 90 $ $

情节

三个多项式的图显示了三重根如何比任何一个二重根更敏感，而二重根又比任何一个单根更敏感。

plot_polys (p1, p2, p3)

相似变换

相似变换保留了特征值，但掩盖了特征值。因为它很方便，我将使用我去年12月的博客文章中的HPL-AI矩阵HPL-AI基准．

格式短的M=HPLAI（6，-1）

M = 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.2000 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667

是的,女士

这是我们在MATLAB中做相似变换的方法。

B = M / M *

B = 3.0610 1.1351 0.0899 -0.1695 -0.1178 -0.2053 0.0405 3.1519 1.1018 -0.1919 -0.1296 -0.2244 0.1360 0.2922 3.2144 -0.1402 -0.0745 -0.1867 0.1096 0.3808 0.2786 1.8527 0.6013 -0.1919 0.2839 0.6709 0.4447 -0.1222 1.6349 0.1467 1.5590 1.5424 0.7469 -0.1300 -0.0449 0.7517

特征值

这对特征值有什么影响?

格式长e = eig (B)

e=1.000000000000000+0.000000000000000i 1.666666666666671+0.000000000000000i 1.999999999999999+0.000000000000000i 3.000006294572211+0.000000000000000i 2.9999996852713877+0.00005451273553i 2.99996852713877-0.00005451273553i

简单的根几乎没有移动。重数为3的根被精度的立方根大致扰动。

格式短的E3 = e(4:6) - 3;R3 = abs(e3)

R3 = 1.e -05 * 0.6295

特征向量

特征向量呢?

[V，~]=eig（B）；imagV=imag（V）realV=real（V）

0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1983年0.1983年0.28830.3258 -0.1627 -0.2975 0.2975 0.2975 -0.8870 -0.1275 -0.2033 -0.5950 0.5950 0.5950

最后两个向量有小的虚分量它们的实分量几乎与第四个向量相同。所以只有前四列V都是不错的特征向量。我们看到B，因此一个,是有缺陷的. 它没有一整套线性独立的特征向量。

的特征值

帮助condeig格式短的ekappa = condeig (B)

关于特征值的压缩条件数。CONDEIG（A）是A的特征值的条件数向量。这些条件数是左右特征向量之间夹角的余弦的倒数[五、 D，s]=CONDEIG（A）相当于[V，D]=EIG（A）；s=CONDEIG（A）；大的条件数意味着A接近一个具有多重特征值的矩阵。类对输入A的支持：float:double，single另见COND。condeig文件condeig kappa=1.6014e+00 2.9058e+00 2.9286e+00 1.3213e+10 1.3213e+10 1.3213e+10 1.3213e+10万博1manbetx

仔细看看这些数字——前三个的10的幂为零，而后三个的幂为10。这证实了前三个特征值条件良好，而第四个特征值条件不好。

约旦标准型

一个几乎是它自己的JCF，所以这并不奇怪。

A_jcf =乔丹(A)

1. A_jcf = 3.0000e+00 1.0000e+00 000 3.0000e+00 000 3.0000e+00 000 1.0000e+00 000 1.6667e+00 0000 2.0000e+00

但B吗?通过精确的计算，它将拥有相同的JCF。

格式短的eB_jcf =乔丹(B);real_B_jcf = real(B_jcf) imag_B_jcf = image (B_jcf)

real_B_jcf = 1.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 1.6667 e + 00 0 0 0 0 0 0 2.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 imag_B_jcf = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.7873 2.7873 e-06 e-06 0 0 0 0 0 0

计算出的JCF是对角线的。这又是一个例子乔丹标准形就是不计算．也看到Golub和威尔金森．

节拍还在继续。。。

我刚要把这篇文章写完，就尝试了这个。我当时没有意识到，但是使用HPL-AI矩阵进行“随机”相似变换有一些可喜的结果。这个矩阵的元素是小整数的比值。

M =符号(M)

M =(7/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11)(1/5, 7/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10)(1/4, 1/5, 7/6, 1/7, 1/8, 1/9][1/3、1/4、1/5,7/6,1/7,1/8][1/2、1/3、1/4、1/5、7/6,1/7][1 1/2、1/3、1/4、1/5、7/6)

的元素一个也是小整数的比值。

信谊(A)

ans = [3 1 0, 0, 0, 0] [0 3 1 0 0 0] [0 0 3 0 0 0] [0, 0, 0, 2, 2/3, 0] [0, 0, 0, 0, 5/3, 1/3] [0, 0, 0, 0, 0, 1]

的元素投资部（M）是大整数的比值，但我不需要展示它们因为我们不打算求倒数米,甚至是象征性的。相反,我们使用正斜杠计算相似度变换。

B = M * / M;

的元素B也是大整数的比值。我们看看第一列;其他列也是类似的。

B1 = B (: 1)

B1 = 5261534240243927141/1718872313588352715 69679116377352174/1718872313588352715 46738873967260860/343774462717670543 2898457606578534/26444189439820811 9760226272779214116 /343774462717670543 2679724812276211392/1718872313588352715

JCF

用这种精确的符号计算，的特征多项式B是p3．

charpoly (B,“年代”）

ans = s ^ 6 - (41 * s ^ 5) / 3 + 76 * s ^ 4 - (658 * s ^ 3) / 3 + 345 * s ^ 2 - 279 + 90

因此，JCFB这是正确的。

乔丹(B)

ans = [1, 0, 0, 0, 0, 0] [0, 5/3, 0, 0, 0, 0] [0 0 2 0 0 0] [0, 0, 0 3 1 0] [0, 0, 0, 0, 1] [0, 0, 0, 0, 0, 3]

符号特征向量

的符号版本的第三个输出参数eig是一个向量，它的长度是线性无关的特征向量的个数。这是几何多样性．在本例中是4。

[V，E，k]=eig（B）

V = (11/27, 463/6831, 4/9, 7/6) (25/54, 31/414, 1/2, 1/5) (15/28, 485/5796, 4/7, 1/4) (460/63, 1115/2898, 14/3, 1/3) (-23/9, -157/483, 4/5, 1/2) [1, 1, 1, 1] E = (5/3, 0, 0, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0, 0] [0 0 2 0 0 0] [0, 0, 0 3 0 0] [0, 0, 0, 0 3 0] [0, 0, 0, 0, 0, 3] k = 1 2 3 4

检查

验证特征向量是否有效。

BV = B*V (k,k)

[55/81，463/6831，8/9，7/2 7/2][125/162，31/414，1，3/5][25/28，485/5796，8/7，3/7，3/4，3/4，3/4，3/8/5，8/81，3/8/81，3/5/5][25/28，485/5796，8/5796，8/7，3，3/7，3，3/4，3/4，3/4，3/4，3/4，3/4，3，3/3/3/4][[2300/3，3，3，3，3/4[3，3，3，3/4/4，3，3，3，3，3/7，3，3，3/7，3，3/7，3/7，3/7，3，3，3/4，3/7，3/7，3/7，3/4，3，3 3,1,2,3]

TKP预览

在准备这两篇关于“贬义词流形”的文章时，我发现了一些由Triple Kronecker Products生成的具有非常高多样性的漂亮的舍入错误模式。s manbetx 845这将是我的下一篇文章。这里是预览。tkp_preview.gif

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发布与MATLAB®R2019b

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