解决方形线性系统使用巨磁电阻使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个在主对角线上有50%的密度和非零。还要创建一个随机向量b的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的A = sprandn(400,400,0.5) + 12*speye(400);b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用巨磁电阻．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = GMRES（A，B）;

GMRES在迭代10中停止，而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（10）具有相对残留的0.35。

默认情况下巨磁电阻使用10个迭代和容忍度1 e-6，该矩阵在这10次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度使算法更容易收敛。

解决系统再次使用的容差1的军医和100的迭代。

托尔= 1的军医;麦克斯特= 100;x = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特);

Gmres在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为达到了最大迭代数。返回的迭代(数100)相对剩余0.0045。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，残余错误也不会提高收敛。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。然而，巨磁电阻还具有控制内部迭代的数量的输入。通过指定内部迭代的值，巨磁电阻在每个外部迭代中做更多的工作。

使用a再次解决系统重新开始价值100和amax值20.而不是一次迭代，巨磁电阻在重新启动之间执行100个迭代并重复此20次。

重启= 100;麦克斯特= 20;x = gmr (A, b,重启,托尔,麦克斯特);

GMRES（100）在外迭代2（内迭代75）以相对残留9.3E-05的溶液中聚集在溶液中。

在这种情况下，指定了大重启值巨磁电阻使其能够收敛到允许的迭代次数内的解决方案。但是，大重启值可以消耗很多内存一个也大。

使用预先启动的前提者矩阵来检查使用预处理器矩阵的效果巨磁电阻来解线性方程组。

负载west0479，一个真实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b =和(2);

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

用巨磁电阻在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = gmres（a，b，[]，tol，maxit）;fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.7603

it0

it0 =1×21 20

fl0是1,因为巨磁电阻不收敛到所请求的公差1 e-12在请求的20次迭代中。最好的近似解巨磁电阻Returns是最后一个(如it0 (2) = 20）.MATLAB将剩余历史存储在rv0．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1 e-6．解预处理系统 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,巨磁电阻．请注意，当您指定预处理程序时，巨磁电阻计算输出预处理系统的残余标准rr1和rv1．

[l，u] = ilu（a，struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6））;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = GMRES（A，B，[]，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

rr1

RR1 = 6.9008E-14

it1

IT1 =1×21 - 6

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第六次迭代。第一个残差RV1（1）是规范(U \ \ b (L))， 在哪里m = l * u．最后一个残留.rv1(结束)是规范(U \ (L \ (b * x1)))．

您可以跟随进度巨磁电阻通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),'-O')举行在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（U \（L \ B）），'-O'）yline（tol，'r--'）;传奇(“没有预调节器”，'ilu preconditcher'，'宽容'，“位置”，'东方的')包含('迭代号') ylabel (“相对残差”）

使用重新启动的预处理器巨磁电阻．

负载west0479，一个真实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b =和(2);

构造一个不完全LU预调节器，其降容限为1 e-6．

[l，u] = ilu（a，struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6））;

使用重新启动的好处巨磁电阻是限制执行该方法所需的内存量。没有重启,巨磁电阻需要max保持Krylov子空间的基的存储向量。同时,巨磁电阻每一步都必须与之前所有的向量正交。重新启动会限制使用的工作区数量和每次外部迭代所完成的工作量。

执行gmr (3)，GMRES（4）,GMRES（5）使用不完整的LU因子作为预处理者。使用公差1 e-12最多20个外迭代。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;[x3, fl3 rr3、it3 rv3] = gmr (A, b, 3,托尔,麦克斯特,L, U);[x4, fl4 rr4、it4 rv4] = gmr (A, b, 4,托尔,麦克斯特,L, U);[x5, fl5 rr5、it5 rv5] = gmr (A, b, 5,托尔,麦克斯特,L, U);fl3

fl3 = 0

fl4

fl4 = 0.

fl5

fl5 = 0

fl3，fl4,fl5全部0，因为在每种情况下重新启动巨磁电阻驱动相对剩余，以小于规定的公差1 e-12．

以下绘图显示了每个重新启动的融合历史巨磁电阻方法。gmr (3)收敛于外部迭代5，内部迭代3 (IT3 = [5,3]）与外迭代6，内迭代0相同，因此在最终刻度标记上的标记为6。

半径（1：1/3：6，RV3 / NOM（U \（L \ B）），'-O'）;甘氨胆酸h1 =;h1。XTick = (1:6);标题('GMRES（n）对于n = 3,4,5')包含(“外迭代数量”）;ylabel (“相对残差”）;抓住在半机（1：1/4：3，RV4 / NOM（U \（L \ B）），'-O'）;semilogy (1:1/5:2.8 rv5 /规范(U \ \ b (L))'-O'）;yline（tol，'r--'）;抓住离开传奇('GMRES（3）'，'GMRES（4）'，'GMRES（5）'，'宽容'） 网格在

一般来说，内部迭代的数量越大，工作就越多巨磁电阻每个外部迭代是否可以收敛更快。

检查供应的效果巨磁电阻对解决方案进行初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以的期望解 $\mathit{x}$是一个向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e]，-1:1,n,n);b =和(2);

用巨磁电阻来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，一次是对解决方案的良好初始猜测。对两种解决方案都使用200次迭代和默认的容错性。万博 尤文图斯指定第二个解中的初始猜测为所有元素都等于的向量0.99．

maxit = 200;X1 = GMRES（A，B，[]，[]，MAXIT）;

GMRES在迭代27融合到具有相对残留的9.5E-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 = gmr (A, b,[][],麦克斯特,[],[],x0);

GMRES在迭代7中融合到具有相对残留的6.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测巨磁电阻更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为了k = 1:4 [x,国旗,relres] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结尾

通过提供来解决一个线性系统巨磁电阻用一个函数句柄进行计算斧头代替系数矩阵一个．

威尔金森测试矩阵中的一个由画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（'威尔克', 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示运算斧头用函数句柄。当一个乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一个．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头：

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +.．.[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +.．.[x（2:21）;0];结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供巨磁电阻使用函数处理来计算斧头．使用公差1 e-12， 15个外部迭代，10个内部迭代，然后重新启动。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 15;重启= 10;x1 = gmr (@afun, b,重启,托尔,麦克斯特)

GMRES（10）在外迭代5（内迭代10）以相对残留5.3E-13的溶液中融合。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个1的向量。

afun (x1)

ans =.21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +.．.[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +.．.[x（2:21）;0];结尾