解决方形线性系统使用symmlq.使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个稀疏的三对角矩阵一个作为系数矩阵。用密集的行和 $\mathit{一个}$作为右侧的矢量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以解决方案 $\mathit{x}$预计将成为一个矢量。

n = 400;= 1 (n, 1);A = spdiags([-2*on 4*on -2*on]，-1:1,n,n);b =全(sum (A, 2));

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用symmlq.．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{b}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$．

x = symmlq (A, b);

Symmlq在迭代20时停止，没有收敛到期望的容忍值1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.045。

默认情况下symmlq.使用20次迭代和一个公差1 e-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。由于剩余是按顺序的1)依照，这是需要更多迭代的良好指示。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1的军医和250的迭代。

x = symmlq (A, b, 1 e - 4250);

Symmlq在第199次迭代时收敛到一个相对残差为1.5e-14的解。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果symmlq.解决线性系统。

建立对称正定带状系数矩阵。

一个= delsq (numgrid (“年代”, 102));

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 100;

采用symmlq.在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定六个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，it0，rv0，rvcg0] = symmlq（a，b，tol，maxit）;fl0

fl0 = 1

RR0.

rr0 = 0.0031

it0

it0 = 100

fl0是1,因为symmlq.不收敛到所请求的公差1 e-12在要求的100次迭代中。

为了帮助收敛，可以指定一个预处理矩阵。自一个是对称的,使用ichol.生成预处理程序 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$．指定“信息与通信技术”选项使用阈值下降的不完全Cholesky分解，并指定对角移位值为1 e-6避免非正枢轴。通过指定来求解前置系统l和L'作为输入symmlq.．

设置=结构('类型'，“信息与通信技术”，“diagcomp”，1e-6，'droptol'，1E-14）;l = iChol（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1，RVCG1] = SymMLQ（A，B，TOL，MAXIT，L，L'）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

rr1 = 2.7798 e15汽油

it1

IT1 = 3.

使用ichol.预处理函数极大地改善了问题的数值性质symmlq.能够快速收敛。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以跟着进度symmlq.通过在每次迭代时绘制相对残差。用线路为指定公差的线绘制每个溶液的共轭梯度残留历史。

semilogy(0:长度(rvcg0) 1, rvcg0 /规范(b),“o”） 抓住在半机（0：长度（RVCG1）-1，RVCG1 / NORM（B），“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，“ICHOL预处理”，“宽容”，'地点'，'东南'）Xlabel（的迭代次数）ylabel（的相对剩余的）

检查供应的效果symmlq.初步猜测解决方案。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

采用symmlq.来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。万博 尤文图斯指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

maxit = 200;x1 = symmlq（a，b，[]，maxit）;

Symmlq在第34次迭代时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = symmlq(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

SymmlQ将迭代6融合到具有相对残差8.7E-07的解决方案。

在这种情况下，提供初始猜测symmlq.更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = symmlq (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解一个线性方程组symmlq.使用计算的函数句柄斧头代替系数矩阵一个．

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“wilk”，21）

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作斧头使用函数句柄。当一个乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值斧头：

功能Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供symmlq.使用计算的函数句柄斧头．使用公差1 e-12和50迭代。

b = ins（21,1）;托尔= 1 e-12;maxit = 50;x1 = symmlq（@ afun，b，tol，maxit）

Symmlq在迭代10时收敛到一个相对残差为4.5e-16的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下afun (x1)生成一个矢量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束