解决方形线性系统使用bicgstab使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一种密度为50%。同时创建一个随机向量B.对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$．

RNG.默认的a = sprand（400,400,.5）;a ='* a;b =兰特（400,1）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用bicgstab．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

X = BICGSTAB（A，B）;

Bicgstab在迭代20时停止，没有收敛到期望的容忍值1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.12。

默认情况下bicgstab使用20次迭代和一个公差1 e-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。由于剩余仍然很大，因此是一个良好的指标，即需要更多的迭代（或预处理器矩阵）。您还可以使用更大的容差来使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1的军医和100的迭代。

x = bicgstab (A, b, 1 e - 4100);

Bicgstab在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号100)的相对残差为0.044。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代，残余误差也不会改善很多。当迭代算法以这种方式停滞时，很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算不完整的粗心分解一种，并使用L'因素作为预处理器输入bicgstab．

L = ichol(一个);x = bicgstab (A, b, e - 4100 L ');

Bicgstab在迭代30.5处收敛到一个相对残差为5.3e-05的解。

使用预处理器可以充分改善问题的数值性质bicgstab能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果bicgstab解决线性系统。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.一个= west0479;

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

用bicgstab在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = bicgstab（a，b，tol，maxit）;FL0.

fl0 = 1

RR0.

Rr0 = 1

IT0.

IT0 = 0.

FL0.是1因为bicgstab不收敛到所请求的公差1 e-12在请求的20次迭代中。事实上，行为bicgstab最初的猜测是如此糟糕X0 =零（尺寸（a，2），1）如所示，是最好的解决方案并返回IT0 = 0.．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一种不对称，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{m}=\mathit{L.}\mathit{你}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解决预处理系统 ${\mathit{一种}\mathit{m}}^{-1}\mathit{m}\mathit{X}=\mathit{B.}$通过指定L.和你作为输入bicgstab．

设置=结构('类型'那“ilutp”那'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = BICGSTAB（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

rr1 = 3.8661 e-14

IT1

IT1 = 3.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第三次迭代。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以遵循的进步bicgstab通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-o'） 抓住在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),'-o'）yline（tol，“r——”）;传奇('没有预处理者'那ILU预处理的那“宽容”那'地点'那'东'）xlabel（的迭代次数）ylabel（的相对剩余的）

检查供应的效果bicgstab对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

用bicgstab解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用50个迭代和两个解决方案的默认容差。万博 尤文图斯将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99．

maxit = 50;x1 = bicgstab（a，b，[]，maxit）;

Bicgstab在迭代20.5时收敛到一个相对残差为9.3e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = bicgstab（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

BICGSTAB在迭代4下融合到具有相对残留的8.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测bicgstab更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1:4 [x,国旗,relres] = bicgstab (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结尾

通过提供解一个线性方程组bicgstab使用计算的函数句柄斧头代替系数矩阵一种．

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（“wilk”, 21)

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01210.0.0.0.0.0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作斧头使用函数句柄。什么时候一种乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一种．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$成为：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 9.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 8.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 7.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 6.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 5.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 4.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 3.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0.+10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}+0.\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1\\ 9.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0.\end{array}\right]$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值斧头：

功能Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供bicgstab使用计算的函数句柄斧头．使用宽容1 e-12和50次迭代。

b = ins（21,1）;托尔= 1 e-12;maxit = 50;x1 = bicgstab（@ afun，b，tol，maxit）

Bicgstab在迭代11.5时收敛到一个相对残差为5.2 -13的解。

x1 =21×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下Afun（x1）生成一个矢量。

Afun（x1）

ans =.21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结尾