用。解一个平方线性方程组PCG.使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机对称稀疏矩阵一种．还创建一个向量B.排行的行一种对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以真正的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

rng默认a = sprand（400,400,.5）;a ='* a;b = sum（a，2）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用PCG.．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

x = pcg (A, b);

PCG在迭代20处停止而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（数20）具有相对残差3.6E-06。

默认情况下PCG.使用20个迭代和容忍度1E-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。然而，残差接近耐受性，因此算法可能只需要更多的迭代来汇聚。

再次使用容差来解决系统1E-7和150次迭代。

x = PCG（A，B，1E-7,150）;

PCG在第129次迭代时收敛到一个相对残差为9.9e-08的解。

检查使用预处理器矩阵的效果PCG.解线性方程组。

创建一个对称的正面确定的带状系数矩阵。

a = delsq（numgrid（'，102））;

定义B.对于线性方程的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$．

b =α（大小（a，1），1）;

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;

使用PCG.在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，IT0，RV0] = PCG（A，B，TOL，MAXIT）;FL0.

fl0 = 1

rr0

RR0 = 0.0131.

IT0.

IT0 = 100.

FL0.是1因为PCG.不收敛到所要求的容忍度1E-8在请求的100次迭代中。

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自一种是对称的，使用ichol生成预处理器 $\mathit{m}=\mathit{L.}{\mathit{L.}}^{\mathit{T.}}$．通过指定解决预处理系统L.和L '作为输入,PCG.．

l = iChol（a）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = PCG（A，B，TOL，MAXIT，L，L'）;FL1.

fl1 = 0

rr1

RR1 = 8.0992E-09

IT1

IT1 = 79.

an的使用ichol预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1E-8在第79次迭代中。输出RV1（1）是规范（b）和RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

现在，使用米莫尔选项以创建修改后的不完整的Cholesky Preconditter。

L = ichol(结构体('michol'那'在'））;[X2，FL2，RR2，IT2，RV2] = PCG（A，B，TOL，MAXIT，L，L'）;FL2.

fl2 = 0

rr2

RR2 = 9.9618E-09

IT2.

IT2 = 47.

这个预调式比本例中系数矩阵填充为零的不完全Cholesky分解所产生的预调式要好，所以PCG.能够更快地收敛。

您可以了解预处理者如何影响收敛速度PCG.通过绘制从初始估计(迭代数)开始的每个剩余历史0.）。为指定的公差添加一行。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-O')举行在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），'-O'）半机（0：长度（RV2）-1，RV2 / NORM（B），'-O'）yline（tol，'r--'）;传奇（'没有预处理者'那“默认ICHOL”那'修改ichol'那'宽容'那“位置”那“东”)包含('迭代号') ylabel (“相对残差”）

检查供应的效果PCG.对解有一个初步的猜测。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b = sum（a，2）;

使用PCG.解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用200个迭代和两个解决方案的默认容差。万博 尤文图斯将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99．

maxit = 200;x1 = pcg（a，b，[]，maxit）;

PCG在第35次迭代时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = pcg（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

PCG在迭代7时收敛到一个相对残差为8.7e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的PCG.要更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1：4 [x，标志，relres] = pcg（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= relres;x0 = x;结尾

通过提供解决线性系统PCG.使用计算的功能手柄* x代替系数矩阵一种．

使用画廊生成20×20正定的三角形矩阵。Super-and Subdiagonals有一个，而主要对角线元件从20到1.预览矩阵。

n = 20;a =画廊（'tridiag'的(n - 1, 1), n: 1:1,的(n - 1, - 1));完整的(一个)

ans =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

由于这种三角形矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作* x使用函数句柄。什么时候一种乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一种．而且，只有主对角线上有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$成为：

$\left[\begin{array}{cccccccccc}20.& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 19.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 18.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 17.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 16.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 15.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 14.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 13.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{0.\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+19.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+18.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{18.}+2{\mathit{X}}_{19.}+{\mathit{X}}_{20.}\\ {\mathit{X}}_{19.}+{\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\left[\begin{array}{c}2{0.\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+19.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+18.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{18.}+2{\mathit{X}}_{19.}+{\mathit{X}}_{20.}\\ {\mathit{X}}_{19.}+{\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}20.{\mathit{X}}_1\\ 19.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\\ 0.\end{array}\right]$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值* x：

函数Y = [0;x (19)) +......[（20：-1：1）']。* x +......[x（2:20）;0];结尾

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供PCG.使用函数处理来计算* x．使用宽容1E-12和50次迭代。

1 b =(20日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = pcg (@afun, b,托尔,麦克斯特)

PCG将迭代20融合到具有相对残留的4.4E-16的溶液。

x1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0550 0.0555 0.0555 0.0555 0.0555 0.052200666 0.0714 0.0769 0.0714 0.0769 0.0714 0.0769

检查Afun（x1）产生一个1的向量。

Afun（x1）

ans =20×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

函数Y = [0;x (19)) +......[（20：-1：1）']。* x +......[x（2:20）;0];结尾