解决方形线性系统使用BICG.使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50％。还创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

RNG.默认5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用BICG.．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathrm{斧头}-\mathit{b}为}{为\mathit{b}为}$．

x = bicg (A, b);

BICG在迭代20停止，而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（第7号）具有相对残差0.45。

默认情况下BICG.使用20个迭代和容忍度1E-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。由于剩余仍然很大，因此是一个良好的指标，即需要更多的迭代（或预处理器矩阵）。您还可以减少公差，以使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1E-4和100次迭代。

X = BICG（A，B，1E-4,100）;

BICG在迭代100时停止，而不会聚到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（第7号）具有相对残差0.45。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，剩余错误也不会改善太多。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用L'作为预处理输入的因子BICG.．

L = ichol(一个);x = bicg (A, b, e - 4100 L ');

在第60次迭代时，Bicg收敛到一个相对残差为9.9e-05的解。

使用预处理器提高了问题的数值BICG.能够融合。

检查使用预处理器矩阵的效果BICG.解决线性系统。

加载West0479，真正的479-by-479非对称稀疏矩阵。

负载West0479.A = West0479;

定义b这样真实解决方案是所有的解决方案。

b = sum（a，2）;

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-12;maxit = 20;

采用BICG.在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

(x0, fl0 rr0、it0 rv0] = bicg (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

RR0.

Rr0 = 1

it0

IT0 = 0.

fl0是1因为BICG.不收敛到所请求的公差1E-12在请求的20次迭代中。事实上，行为BICG.是如此的可怜，以至于最初的猜测(X0 =零（尺寸（a，2），1））是最好的解决方案，并按照所示返回IT0 = 0.．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1E-6．解预处理系统 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入BICG.．

setup = struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = BICG（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 4.1374E-14

it1

IT1 = 6.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1E-12在第六次迭代。输出RV1（1）是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

你可以跟着进度BICG.通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”） 抓住在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），“o”) yline(托尔,'r--'）;传奇（“没有预调节器”，'ilu preconditcher'，'宽容'，'地点'，'东方'）Xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果BICG.初步猜测解决方案。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

采用BICG.来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。对两个解决方案使用200次迭代，并将初始猜测指定为带有等万博 尤文图斯于的所有元素的向量0.99．

maxit = 200;x1 = bicg（a，b，[]，maxit）;

BICG将迭代35收敛到具有相对残留的9.5E-07的溶液。

x0 = 0.99 *(大小(A, 2), 1);x2 = bicg(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

BICG将迭代7收敛到具有相对残留的8.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测BICG.要更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为k = 1：4 [x，标志，relres] = bicg（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= relres;x0 = x;结束

通过提供解决线性系统BICG.使用计算的功能手柄斧头和‘* x代替系数矩阵一个．

创建非对称性三角形矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克'，21）+诊断（（20,1），1）

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

由于这种三角形矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作斧头功能手柄。每行一个将元素乘以x，只有少数结果是非零（对应于Tridiagonals上的非洲国家）。

表达方式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10.& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+2\cdot ［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

同样，表达式 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10.& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝2\cdot ［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10.\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，给出了价值斧头要么‘* x，取决于标志输入：

功能y = afun（x，旗帜）如果Strcmp（旗帜，'notransp'）％compute a * xy = [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ 2 * [x（2：结束）;0];eleesifStrcmp（旗帜，'transp'）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ [x（2：结束）;0];结束结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供BICG.使用函数处理来计算斧头和‘* x．使用公差1E-6和25个迭代。指定 $\mathit{b}$作为行和的行 $\mathit{一个}$所以真正的解 $\mathit{x}$是一个1的向量。

b =完整（总和（a，2））;tol = 1e-6;maxit = 25;x1 = bicg（@ afun，b，tol，maxit）

BICG将迭代19收敛到具有相对残留的4.8E-07的溶液。

x1 =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

功能y = afun（x，旗帜）如果Strcmp（旗帜，'notransp'）％compute a * xy = [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ 2 * [x（2：结束）;0];eleesifStrcmp（旗帜，'transp'）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]......+ [（10：-1：0）';（1:10）']。* x......+ [x（2：结束）;0];结束结束