使用矩形线性系统使用lsqr使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50%。还要创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

RNG.默认的5 = sprand (400300);b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用lsqr. 输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = lsqr (A, b);

lsqr在迭代20停止，但未收敛到所需公差1e-06，因为已达到最大迭代次数。返回的迭代（数字20）的相对残差为0.26。

默认情况下lsqr使用20次迭代，公差为1e-6，但该算法无法在此矩阵的20次迭代中收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，表明需要更多的迭代（或预条件矩阵）。您还可以使用更大的容差，使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1e-4和70次迭代。指定六个输出以返回相对残差雷计算出的解决方案，以及剩余历史resvec以及最小二乘残差历史lsvec．

[x，flag，relres，iter，resvec，lsvec]=lsqr（A，b，1e-4,70）；旗帜

国旗= 0

自从旗帜如果为0，则该算法能够在指定的迭代次数内满足所需的误差容限。通常，您可以同时调整公差和迭代次数，以便以这种方式在速度和精度之间进行权衡。

检验计算解的相对残差和最小二乘残差。

雷

relres = 0.2625

lsres=lsvec（结束）

LSRES = 2.7640E-04

这些残差规范表明x是一个最小二乘解，因为雷不小于指定的公差1e-4. 由于不存在线性系统的一致解，解算器所能做的最好是使最小二乘残差满足公差。

绘制剩余历史。相对剩余resvec迅速达到最小，无法进一步进步，而最小二乘剩余lsvec在随后的迭代中继续最小化。

N=长度（resvec）；符号学（0:N-1，lsvec，“- o”，0：n-1，Resvec，“o”)传奇(“最小二乘剩余”，“相对剩余”)

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果lsqr解决线性系统。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载West0479.A=0.479；

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置公差和最大迭代次数。

tol=1e-12；maxit=20；

用lsqr在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定六个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x, fl, rr,房车,lsrv] = lsqr (A, b,托尔,麦克斯特);fl

fl=1

rr

rr=0.0017

它

它= 20

自从fl=1时，算法在最大迭代次数内没有收敛到指定的公差。

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用伊鲁生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$以分解形式。指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1e-6．解预处理系统 ${\mathrm{我}}^{-1}（\mathit{米}\mathit{x})＝\mathit{b}$为 $\mathit{y}＝\mathrm{Mx}$通过指定l和U随着M1和M2输入lsqr．

setup=struct('类型'，“ilutp”，'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1，LSRV1] = LSQR（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

rr1

rr1=7.0954e-14

it1

IT1 = 13.

使用ilu预处理器产生的相对残差小于1e-12在第13次迭代中。输出rv1（1）是规范(b)，输出rv1（完）是规范(b * x1)．

你可以跟着进度lsqr通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

semilogy(0:长度(rv) 1、rv /规范(b),“o”） 抓住在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”）yline（tol，“r——”); 传奇(“没有预调节器”，“ILU预处理程序”，“宽容”，“位置”，'东')包含(“迭代次数”) ylabel (“相对残差”)

检查供应的效果lsqr对解有一个初步的猜测。

创建一个随机矩形稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

a = sprand（700,900,0.1）;b = sum（a，2）;

用lsqr来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两个解决方案使用75次迭代和默认容忍。万博 尤文图斯指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于0.99的向量。

麦克斯特= 75;x1 = lsqr (A, b,[],麦克斯特);

LSQR在迭代64处收敛到具有相对残留的8.7E-07的溶液。

X0 = 0.99 * x0（尺寸（a，2），1）;x2 = lsqr（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

LSQR在第26次迭代时收敛到一个相对残差为9.6e-07的解。

最初的猜测接近预期解，lsqr能够在较少的迭代中收敛。

x0=零（尺寸（A，2），1）；tol=1e-8；最大值=100；为k=1:4[x，flag，relres]=lsqr（A，b，tol，maxit，[]，[]和x0）；X（：，k）=X；R（k）=relres；x0=x；结束

通过提供解一个线性方程组lsqr使用计算的函数句柄斧头和‘* x代替系数矩阵一个．

创建一个非对称的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“威尔克”21) +诊断接头(1(20日1),1)

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作斧头使用函数句柄。当一个乘以一个向量，结果向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素与一个．

表达方式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+2\cdot ［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

同样，表示 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝2\cdot ［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数，创建这些向量并将它们相加，从而得出斧头或‘* x，取决于标志输入：

功能y=afun（x，标志）如果Strcmp（旗帜，“notransp”)%计算* xy = [0;x（1:20）].．.+ [(10:-1:0)'; (1:10）“]x.．.+2*[x（2：结束）；0];elseifStrcmp（旗帜，“运输”)%计算A'*xy = 2 * [0;x（1:20）].．.+ [(10:-1:0)'; (1:10）“]x.．.+ (x(2:结束);0);结束结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供lsqr使用计算的函数句柄斧头和‘* x．使用公差1e-6和25个迭代。指定 $\mathit{b}$的行和 $\mathit{一个}$所以真正的解 $\mathit{x}$是一个1的向量。

b =全(sum (A, 2));托尔= 1 e-6;麦克斯特= 25;x1 = lsqr (@afun, b,托尔,麦克斯特)

LSQR在迭代21中收敛到具有相对残留的5.4E-13的溶液。

x1 =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ⋮

功能y=afun（x，标志）如果Strcmp（旗帜，“notransp”)%计算* xy = [0;x（1:20）].．.+ [(10:-1:0)'; (1:10）“]x.．.+2*[x（2：结束）；0];elseifStrcmp（旗帜，“运输”)%计算A'*xy = 2 * [0;x（1:20）].．.+ [(10:-1:0)'; (1:10）“]x.．.+ (x(2:结束);0);结束结束