用。解一个平方线性方程组bicgstabl使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50%。同时创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用bicgstabl．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = bicgstabl (A, b);

Bicgstabl在迭代20停止，没有收敛到期望的容忍1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.095。

默认情况下bicgstabl使用20次迭代和一个公差1 e-6，算法在这20次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1的军医和100的迭代。

x = bicgstabl (A, b, 1 e - 4100);

Bicgstabl在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号100)的相对残差为0.028。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代，残余误差也不会改善很多。当迭代算法以这种方式停滞时，很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用L '作为预处理输入的因子bicgstabl．

L = ichol(一个);x = bicgstabl (A, b, e - 4100 L ');

Bicgstabl在迭代15.5时收敛到一个相对残差为2.5e-05的解。

使用预处理器可以充分改善问题的数值性质bicgstabl能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果bicgstabl解线性方程组。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用bicgstabl在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = bicgstabl (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 1

it0

it0 = 0

fl0是1因为bicgstabl不符合要求的公差1 e-12在要求的20次迭代中。其实，这种行为bicgstabl是如此的可怜以至于最初的猜测x0 = 0(大小(2),1)是最好的解决方案并被返回，如所示it0 = 0．

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自一个非对称,使用ilu生成预处理程序 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解预处理系统 ${\mathit{一个}\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,bicgstabl．

设置=结构(“类型”，“ilutp”，“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = bicgstabl (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 1.0652 e15汽油

it1

it1 = 2

an的使用ilu预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-12在第二次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以跟着进度bicgstabl通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

检查供应的效果bicgstabl对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用bicgstabl来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两个解决方案使用20次迭代和默认容忍。万博 尤文图斯指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

麦克斯特= 20;x1 = bicgstabl (A, b,[],麦克斯特);

Bicgstabl在迭代9.2时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = bicgstabl(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

Bicgstabl在迭代2时收敛到一个相对残差为5.4e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的bicgstabl更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = bicgstabl (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解一个线性方程组bicgstabl使用计算的函数句柄* x代替系数矩阵一个．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作* x使用函数句柄。当一个乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．而且，只有主对角线上有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值* x：

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结束

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供bicgstabl使用计算的函数句柄* x．使用公差1 e-12和50迭代。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = bicgstabl (@afun, b,托尔,麦克斯特)

Bicgstabl在迭代5.2处收敛到一个相对残差为2e-15的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个1的向量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结束