对数正态分布

概述

对数正态分布，有时也被称为高尔顿的分布，是一个概率分布，其具有对数正态分布。对数正态分布适用时关注量必须为正数，因为日志（x)只存在于x是正的。

统计和机器学习工具箱™提供了多种方式与对数正态分布的工作。

  • 创建一个概率分布对象LognormalDistribution由概率分布拟合到采样数据（fitdist），或者通过指定参数值（makedist)。然后，使用目标函数对分布进行评估，生成随机数，等等。

  • 通过使用与对数正态分布交互工作分布更健康你可以从应用程序中导出一个对象并使用对象函数。

  • 使用分配特定的功能（logncdf,lognpdf,logninv,lognlike,lognstat,lognfit,lognrnd)与指定的分布参数。分布函数可以接受多个对数正态分布的参数。

  • 使用通用的分布函数（提供,ICDF,pdf,随机）用指定的分发名称（“对数正态分布”）和参数。

参数

对数正态分布使用这些参数。

参数 描述 万博1manbetx
亩(μ)对数值的平均值 − ∞ < μ < ∞
σ(σ)对数值的标准偏差 σ ≥ 0

如果X遵循具有参数对数正态分布µ和σ，然后登录（X）遵循具有均值正态分布µ和标准偏差σ。

参数估计

为了适应对数正态分布数据，找到参数估计，使用lognfit,fitdist,或大中型企业。

  • 对于未经审查的数据，lognfit和fitdist求分布参数的无偏估计值，和大中型企业求最大似然估计值。

  • 对于审查数据,lognfit,fitdist和大中型企业找到最大似然估计。

不像lognfit和大中型企业，它返回的参数估计，fitdist返回拟合的概率分布对象LognormalDistribution。对象属性亩和σ存储参数估计。

描述性统计

均值米和方差v对数正态随机变量的函数是对数正态分布参数的函数µ和σ:

米 = 经验值 ( μ + σ 2 / 2 ) v = 经验值 ( 2 μ + σ 2 ) ( 经验值 ( σ 2 ) − 1 )

还可以计算对数正态分布参数µ和σ从平均米和方差v:

μ = 日志 ( 米 2 / v + 米 2 ) σ = 日志 ( v / 米 2 + 1 )

概率密度函数

对数正态分布的概率密度函数（pdf）是

y = f ( x | μ , σ ) = 1 x σ 2 π 经验值 { − ( 日志 x − μ ) 2 2 σ 2 } , 为 x > 0。

对于一个示例，请参见计算对数正态分布pdf。

累积分布函数

对数正态分布的累积分布函数（CDF）是

p = F ( x | μ , σ ) = 1 σ 2 π ∫ 0 x 1 t 经验值 { − ( 日志 t − μ ) 2 2 σ 2 } d t , 为 x > 0。

对于一个示例，请参见计算对数正态分布的CDF。

例子

计算对数正态分布pdf

开立真实脚本

假设在美国四口之家的收入，紧跟着的对数正态分布亩=日志（20000）和σ= 1。计算并绘制收入密度。

通过指定参数值创建一个对数正态分布对象。

pd = makedist (“对数正态分布”,'亩'，日志（20000），“σ”，1）
正态分布= 9.90349 = 1

计算pdf值。

x = (10:1000:125010)”;x y = pdf (pd);

情节的pdf。

plot(x,y) h = gca;h。XTick = [0 30000 60000 90000 120000]; h.XTickLabel = {' 0 ',“30000美元”,'$ 60,000个',…“90000美元”,'$ 120,000'};

计算对数正态分布的CDF

开立真实脚本

计算中值处的cdf值x对于均值的对数正态分布亩和标准偏差σ。

X = 0：0.2：10;亩= 0;西格玛= 1;P = logncdf（X，μ，西格马）;

画出CDF。

情节(x, p)网格上xlabel（'X'）ylabel（“p”)

正常和对数正态分布的关系

开立真实脚本

如果X遵循具有参数对数正态分布µ和σ，然后登录（X）遵循具有均值正态分布µ和标准偏差σ。用分发对象检查正常，对数正态分布之间的关系。

通过指定参数值创建一个对数正态分布对象。

pd = makedist (“对数正态分布”,'亩'5，“σ”，2）
PD = LognormalDistribution对数正态分布亩= 5西格玛= 2

计算对数正态分布的平均值。

平均（PD）
ANS = 1.0966e + 03

平均对数正态分布不等于亩参数。对数值的均值等于亩。确认通过生成随机数这种关系。

从对数正态分布中产生随机数并计算它们的对数值。

RNG（'默认'）;％用于重现x =随机(pd, 10000, (1);计算lnx =日志(x);

计算平均值的对数值。

M =平均（logX的）
m = 5.0033

平均日志的x接近亩参数x,因为x具有对数正态分布。

构建的直方图logX的正态分布拟合。

histfit(计算lnx)

该图显示，日志值x是正态分布的。

histfit使用fitdist以适应分配给数据。采用fitdist获取拟合参数。

pd_normal = fitdist（logX的，“正常”)
正态分布= 5.00332[4.96445,5.04219]西格玛= 1.98296 [1.95585,2.01083]

所估计的正态分布参数接近对数正态分布参数5和2。

比较对数正态分布和Burr分布PDF文件

开立真实脚本

使用从对数正态分布生成的收入数据比较lognormal pdf和Burr pdf。

产生收入数据。

RNG（'默认')％用于重现Y =随机（“对数正态分布”，日志（25000），0.65，[500,1]）;

适合伯尔分布。

PD = fitdist（Y，“毛刺”)
p = 2.63743 [2.3053, 3.0174] k = 1.09658 [0.775479, 1.55064]

将收入数据的Burr和lognormal pdf绘制在同一图上。

p_burr = PDF（PD，调用sortRows（Y））;p_lognormal = PDF（“对数正态分布”sortrows (y),日志(25000),0.65);p_burr情节(sortrows (y),“- - -”p_lognormal sortrows (y),' - '。）标题（“伯尔和对数正态分布的PDF文件调整到收入数据”)传说(“Burr分布”,对数正态分布的)

相关的分布

参考

[1]阿布拉莫维茨，米尔顿，和Irene A. Stegun编数学函数的手册：使用公式，图表和数学用表。9.多佛打印。[Nachdr。Ausg。冯1972]。多佛数学书。纽约，纽约:多佛酒吧，2013年。

[2]埃文斯，M.， N.黑斯廷斯，和B.皮科克。统计分布。第二版，Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.， 1993。

[3] Lawless的，J. F.寿命数据的统计模型和方法。新泽西州霍博肯市：威利 - InterScience的，1982年。

[4] Marsaglia, G.，和w.w. Tsang。一种快速、容易实现的从递减或对称单峰密度函数中采样的方法。科学和统计计算的暹罗杂志。第5卷第2期，1984年，第349-359页。

[5]米克，W. Q.，和L. A.埃斯科瓦尔。对于可靠性数据统计方法。新泽西州霍博肯:约翰威利父子公司，1998年。

[6] Mood, A. M.， F. A. Graybill, D. C. Boes。简介统计理论。第3版，纽约：。麦格劳 - 希尔，1974年第540-541。

另请参阅

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