洛伦茨方程周期解万博尤文图斯

发布的克里夫硅藻土,2014年4月28日

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改变一个参数的值的方程产生著名的洛伦兹混沌吸引子收益率非线性常微分方程周期解。万博尤文图斯

内容

洛伦兹方程

(这部分是我的书的改编自第7章与MATLAB数值计算由MathWorks出版和暹罗)。Lorenz混沌吸引子是在1963年第一次描述了爱德华·洛伦兹,一位麻省理工学院的数学家和气象学家感兴趣的地球大气层的流体流动模型。一个很好的参考这本书由科林麻雀被结束时这个博客。我选择有些不同寻常的方式表达洛伦茨方程涉及矩阵向量产品:$ $ \点{y} = y $ $ $ y是一个向量值函数的新台币美元三个组件和一个3×3的矩阵是一个美元,取决于y美元。7的9个元素在一美元是常数,但其他两个依赖美元y_2 (t):美元$ $ =[β\ - \ \ \ 0 \ \ y_2 \;\ \ 0 \ \ -σ\σ\ \ \ \;ρ\ \ -y_2 \ \ \ \ \ 1 \] $ $第一个组件的解决方案,美元y_1 (t),美元与大气的对流流动,而另两个组件水平和垂直温度变化相关。参数\σ是普朗特数,美元\ρ是规范化瑞利数,美元和β\取决于美元的几何域。最受欢迎的参数值\σ= 10美元,美元\β= 8/3 $美元\ρ= 28美元。这些都是与地球大气层以外的范围。 The deceptively simple nonlinearity introduced by the presence of $y_2$ in the system matrix $A$ changes everything. There are no random aspects to these equations, so the solutions $y(t)$ are completely determined by the parameters and the initial conditions, but their behavior is very difficult to predict. For some values of the parameters, the orbit of $y(t)$ in three-dimensional space is known as a奇怪吸引子。它是有界的,但不定期和不收敛。它永远不会相交。它范围混乱来回在两个不同的点,或流动。对于其他的参数值,解决方案可能收敛到一个固定的点,发散到正无穷,定期或摆动。认为\η= y_2作为美元的自由参数,限制\ρ是大于1,美元和研究矩阵$ $ =[β\——\ \ \ 0 \ \ \埃塔\;\ \ 0 \ \ -σ\σ\ \ \ \;埃塔\ \ \ \ \ \ρ\ \ 1 \]事实证明一个美元是美元奇异当且仅当$ $ \下午η= \ \ sqrt{\β(\ rho-1)} $ $相应的零向量,归一化,使其第二个组件等于\埃塔美元,美元美元[\ \ rho-1 \ \ \埃塔\ \ \埃塔\]^ T $ $ \埃塔美元的两个不同的迹象,这在三维空间中定义了两个点。这些点是固定的点的微分方程。如果这些点作为初始条件,然后初始导数$ {y} \点(0)= 0,因此y (t)美元美元从未改变。 Fix $\sigma = 10$, $\beta = 8/3$, and investigate the effect of the parameter $\rho$. For $\rho$ less than about 24.7, the fixed points are stable. If the initial value is close enough, the orbit will spiral in to the fixed point. However, for larger values of $\rho$ these points are unstable. If $y(t)$ does not start at one of these points, it will never reach either of them. For most values of $\rho$ greater than 24.7, including the popular $\rho = 28$, the orbit is chaotic.

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在他的洛伦茨方程的全面研究,科林麻雀发现四个特殊值\ρ,美元稳定的周期轨道产生的混乱。如果起始点是在轨道上,解决方案将返回,在有限的时间点。如果初始点不是在轨道上,轨道周期轨道的标准靠拢。这种行为是很不寻常的非线性方程组。每个轨道都有可能是所谓的特点签名。的四个轨道都有不同的签名。使用“+”和“-”表示的符号\埃塔在美元零向量。在下面的三维图中,红色的点是这些流动。点“+”是在左上角,而“-”在右下方。