渐近

确定马尔可夫链渐近

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语法

xFix =渐近(mc)

[xFix, tMix] =渐近(mc)

描述

例子

xFix=渐近(mc）返回平稳分布xFix离散马尔可夫链mc．

例子

［xFix，tMix) =渐近(mc）另外返回混合时间的估计tMix．

例子

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确定马尔可夫链平稳分布

打开生活的脚本

考虑这个理论的，一个随机过程的右随机转移矩阵。

$P ＝［ \begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 3. & 0 & 2 / 3. & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3. & 2 / 3. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3. / 4 & 1 / 4 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 4 & 3. / 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} ］．$

建立以转移矩阵为特征的马尔可夫链P．

P = [0 0 1/4 1/4 0 0;0 0 1/3 0 2/3 0 0;0 0 0 0 1/3 2/3;0 0 0 0 1/2 /2;0 0 0 3/4 1/4;1/2 0 0 0 0 0 0;1/4 3/4 0 0 0 0];mc = dtmc (P);

画一个马尔可夫链的有向图。用边缘颜色表示过渡的概率。

图;graphplot (mc,“ColorEdges”,真正的);

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个graphplot类型的对象。

确定马尔可夫链的平稳分布。

xFix =渐近(mc)

xFix =1×70.1300 0.2034 0.1328 0.0325 0.1681 0.1866 0.1468

因为xFix是行向量，它是唯一的平稳分布mc．

估计马尔可夫链混合时间

打开生活的脚本

通过生成由离散均匀绘图组成的块对角矩阵，创建经验计数的五状态过渡矩阵。

m = 100;%最大计数rng (1);%的再现性P = blkdiag(randi(100,2) + 1,randi(100,3) + 1)

P =5×543 20 0 0 74 32 0 0 0 16 36 43 0 0 11 41 70 0 0 20 55 22

创建并绘制由转移矩阵表征的马尔可夫链的有向图P．

mc = dtmc (P);图;graphplot (mc)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个graphplot类型的对象。

确定马尔可夫链的平稳分布和混合时间。

[xFix, tMix] =渐近(mc)

xFix =2×50.9401 0.0599 0 0 0 0 0 0.1497 0.4378 0.4125

tMix = 0.8558

行xFix对应于两个独立递归类的平稳分布mc．

创建独立的马尔可夫链，表示的循环子链mc．

mc1 =子链(mc, 1);mc2 =子链(mc, 3);

哪和mc2是dtmc对象。哪递归类包含状态吗1,mc2递归类包含状态吗3.．

比较子链的混合时间。

(x1, t1) =渐近(哪)

x1 =1×20.9401 - 0.0599

t1 = 0.7369

(x2, t2) =渐近(mc2)

x2 =1×30.1497 0.4378 0.4125

t2 = 0.8558

哪接近平稳分布的速度比mc2．

确定哑铃链混合时间

打开生活的脚本

创建一个“哑铃”马尔可夫链，每个“权重”包含10个状态，“条”包含3个状态。

在每个权重内指定状态之间的随机转移概率。
如果马尔可夫链达到最接近杆的权值状态，则指定一个高概率的过渡到杆的状态。
在条形图中指定状态之间的统一转换。

rng (1);%的再现性w = 10;%哑铃DBar = [0 1 0;1 0 1;0 1 0];%哑铃杆DB = blkdiag(兰德(w), DBar,兰德(w));%转移矩阵连接哑铃和杠铃DB (w w + 1) = 1;DB (w + 1, w) = 1;DB (w w + 3, + 4) = 1;DB (w + 4, w + 3) = 1;mc = dtmc (DB);

使用热图可视化转换矩阵。

图;显示亮度图像(mc.P);colormap(飞机);轴广场；colorbar;

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个image类型的对象。

画一个马尔可夫链的有向图。抑制节点标签。

图;h = graphplot (mc);h.NodeLabel = {};

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个graphplot类型的对象。

画哑铃链的特征值。

图;eigplot (mc);

图中包含一个轴对象。axis对象包含5个类型为line, patch的对象。这些对象代表特征值，谱隙。

图中薄的红色圆盘表示光谱间隙(两个最大特征值模之间的差异)。谱间隙决定了马尔可夫链的混合时间。大的间隙表示混合更快，而小的间隙表示混合较慢。在这种情况下，光谱间隙很薄，说明混合时间很长。

估计哑铃链的混合时间，判断哑铃链是否遍历。

[~, tMix] =渐近(mc)

tMix = 85.3258

tf = isergodic (mc)

tf =逻辑1

平均而言，任何初始分布和平稳分布之间的总变化距离衰减的时间为 $e^{1}$ 大约85步。

输入参数

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`mc`- - - - - -离散时间马尔可夫链
`dtmc`对象

离散时间马尔可夫链NumStates状态与转移矩阵P，指定为dtmc对象。P必须详细说明(否南条目)。

输出参数

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`xFix`——平稳分布
非负数字矩阵

平稳分布,xFix * P＝xFix，作为非负数值矩阵返回NumStates列。的行数xFix独立复归类的数量在吗mc．

对于单链公司来说，它的分布是独一无二的xFix是一个1——- - - - - -NumStates向量。
否则，每一行xFix表示一个明显的平稳分布mc．

`tMix`——混合时间
积极的数字标量

混合时间，作为正数值标量返回。

如果μ的第二大特征值模(SLEM)P，且不为零，则估计混合时间为 $- 1 / 日志（ μ ）$ ．

请注意

如果P是一个非负随机矩阵，那么马尔可夫链呢mc它的特征是有一个左特征向量xFix与特征值1．Perron-Frobenius定理［2］意味着,如果mc是单链(具有一个循环通信类的链)吗xFix是独一无二的。对于具有多个递归类的可约链，特征值1有更高的多重性，并且xFixnonunique。如果链是周期性的，xFix是平稳的但不是极限的，因为任意的初始分布不收敛于它。xFix仅对遍历链是唯一的和有限的。看到分类．
遍历链,tMix任何初始分布的特征时间是否收敛xFix．具体来说，它是初始分布与的总变化距离的时间xFix衰变以…的倍数衰变e＝实验(1)．混合时间是不同链中过渡结构相对连通性的量度。