卡尔曼

卡尔曼滤波器的设计，卡尔曼估计

语法

(k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn, Nn) [KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN，传感器，已知的） [k, L P M Z] =卡尔曼(sys、Qn Rn,…,类型)

描述

卡尔曼针对被测对象的状态空间模型和处理与测量噪声协方差数据，设计了卡尔曼滤波器或卡尔曼状态估计器。卡尔曼估计器提供了以下连续或离散估计问题的最优解。

连续时间估计

鉴于连续厂

$\begin{array}{l} \dot{x} = 一个 x + B u + G w (状态方程) \\ y = C x + D u + H w + v (测量方程) \end{array}$

与已知的输入u，白处理噪声w，以及白测量噪声v满足

$E (w) = E (v) = 0, E (w w^{T}) = 问, E (v v^{T}) = R, E (w v^{T}) = N$

构造的状态下估计 $\hat{x} (t)$ 使稳态误差协方差最小
$P = \lim_{t \to \infty}$ $E ({x - \hat{x}} {x - \hat{x}}^{T})$

最优解是卡尔曼滤波器等式

$\begin{array}{l} \dot{\hat{x}} = 一个 \hat{x} + B u + l (y - C \hat{x} - D u) \\ (\begin{matrix} \hat{y} \\ \hat{x} \end{matrix}] = (\begin{matrix} C \\ 我 \end{matrix}] \hat{x} + (\begin{matrix} D \\ 0 \end{matrix}] u \end{array}$

滤波器增益l是通过求解代数黎卡蒂方程来确定的吗

$l = (P C^{T} + \bar{N}) {\bar{R}}^{- 1}$

在哪里

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H 问 H^{T} \\ \bar{N} = G (问 H^{T} + N) \end{array}$

和P求解相应的代数里卡蒂方程。

估计器使用已知的输入u和测量y生成输出和状态估计 $\hat{y}$ 和 $\hat{x}$ 。注意 $\hat{y}$ 估计植物的真实产量

$y = C x + D u + H w + v$

离散时间估计

给定离散植株

$\begin{array}{l} x (n + 1] = 一个 x (n] + B u (n] + G w (n] \\ y (n] = C x (n] + D u (n] + H w (n] + v (n] \end{array}$

和噪声协方差数据

$E (w (n] w {(n]}^{T}) = 问, E (v (n] v {(n]}^{T}) = R, E (w (n] v {(n]}^{T}) = N$

估计量的状态方程如下:

$\hat{x} (n + 1 | n] = 一个 \hat{x} (n | n - 1] + B u (n] + l (y (n] - C \hat{x} (n | n - 1] - D u (n])$

增益矩阵l是通过求解一个离散黎卡蒂方程得到的

$l = (一个 P C^{T} + \bar{N}) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1}$

在哪里

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H 问 H^{T} \\ \bar{N} = G (问 H^{T} + N) \end{array}$

有离散时间卡尔曼估计的两个变种：

当前估计器生成输出估计 $\hat{y} (n | n]$ 和状态估计 $\hat{x} (n | n]$ 使用所有可用的测量方法直到 $y (n]$ 。这个估计量有输出方程

$(\begin{matrix} \hat{y} (n | n] \\ \hat{x} (n | n] \end{matrix}] = (\begin{matrix} (我 - 米_{y}) C \\ 我 - 米_{x} C \end{matrix}] \hat{x} (n | n - 1] + (\begin{matrix} (我 - 米_{y}) D & 米_{y} \\ - 米_{x} D & 米_{x} \end{matrix}] (\begin{matrix} u (n] \\ y (n] \end{matrix}],$

创新在哪里获得收益米_x和米_y被定义为:

$\begin{matrix} 米_{x} = P C^{T} {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1}, \\ 米_{y} = (C P C^{T} + H 问 H^{T} + H N) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1} 。 \end{matrix}$

米_x更新预测 $\hat{x} (n | n - 1]$ 使用新的测量方法 $y (n]$ 。

$\hat{x} (n | n] = \hat{x} (n | n - 1] + 米_{x} \underset{我 n n o v 一个 t 我 o n}{\underset{︸}{(y (n] - C \hat{x} (n | n - 1] - D u (n])}} 。$

当H= 0, $米_{y} = C 米_{x}$ 和 $y (n | n] = C x (n | n] + D u (n]$ 。
延迟估计器产生输出估计 $\hat{y} (n | n - 1]$ 和状态估计 $\hat{x} (n | n - 1]$ 只使用到y_v(n-1]。这估计是比较容易的内部控制回路来实现，并具有输出方程

$(\begin{matrix} \hat{y} (n | n - 1] \\ \hat{x} (n | n - 1] \end{matrix}] = (\begin{matrix} C \\ 我 \end{matrix}] \hat{x} (n | n - 1] + (\begin{matrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] (\begin{matrix} u (n] \\ y (n] \end{matrix}]$

(k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn, Nn)创建一个状态空间模型k的卡尔曼估计器给定的对象模型sys和噪声协方差数据Qn,Rn,NN(矩阵问,R,N中描述的描述)。sys必须是带有矩阵的状态空间模型 $一个, (B G], C, (D H]$ 。

得到的估计量k已输入 $(u; y]$ 和输出 $(\hat{y}; \hat{x}]$ (或离散时间对应项)。您可以省略最后一个输入参数NN当N = 0。

功能卡尔曼同时处理连续和离散问题，并产生连续估计sys为连续估计量，否则为离散估计量。在连续时间,卡尔曼也返回卡尔曼增益l以及稳态误差协方差矩阵P。P解决了相关的Riccati方程。

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN，传感器，已知的）处理更一般的情况时

并非所有的输出sys测量。
扰动的输入w最后的输入不是sys。

该指数矢量传感器和已知的指定哪个输出y的sys是被测量的，哪些输入u是已知的（确定性的）。所有其它输入sys假设随机。

[k, L P M Z] =卡尔曼(sys、Qn Rn,…,类型)指定离散时间对象的估计器类型sys。该类型参数可以是“当前”(默认)或“延迟”。对于离散时间的植物，卡尔曼返回评估器和创新收益l和米以及稳态误差协方差

$\begin{array}{l} P = \lim_{n \to \infty} E (e (n | n - 1] e (^{n | n - 1] T}), e (n | n - 1] = x (n] - x (n | n - 1] \\ Z = \lim_{n \to \infty} E (e (n | n] e (^{n | n] T}), e (n | n] = x (n] - x (n | n] \end{array}$

例子

看到x轴的LQG设计和卡尔曼滤波对于使用实例卡尔曼函数。

限制

植物和噪声数据必须满足：

(C,一个)可检测
$\bar{R} > 0$ 和 $\bar{问} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} {\bar{N}}^{T} \geq 0$
$(一个 - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} C, \bar{问} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} {\bar{N}}^{T})$ 在虚轴(或离散时间的单位圆)上有没有不可控的模式

$\begin{array}{l} \bar{问} = G 问 G^{T} \\ \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H 问 H^{T} \\ \bar{N} = G (问 H^{T} + N) \end{array}$