卡尔曼

卡尔曼滤波器设计，卡尔曼估计器

句法

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN） (k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn,神经网络、传感器、已知) [KEST，L，P，M，Z] =卡尔曼（SYS，QN，RN，...，类型）

描述

卡尔曼设计给出的植物和过程和测量噪声协方差数据的一个状态空间模型卡尔曼滤波器或卡尔曼状态估计。卡尔曼估计器提供了以下连续或离散估计问题的最优解。

连续时间估计

对于连续的工厂

$\begin{array}{l} \dot{X} = 一个 X + 乙 ü + G w ^（州方程） \\ ÿ = C X + d ü + H w ^+ v （测量方程） \end{array}$

与已知输入ü，白过程噪声w ^和白色测量噪声v令人满意的

$Ë （ w ^） = Ë （ v ） = 0 ， Ë （ w ^{w ^}^{Ť} ） = Q ， Ë （ v v^{Ť} ） = [R ， Ë （ w ^v^{Ť} ） = ñ$

构造状态估计 $\hat{X} （ Ť ）$ 最小化的稳态误差协方差
$P = \underset{Ť \to \infty}{LIM}$ $Ë （ {X - \hat{X}} {X - \hat{X}}^{Ť} ）$

最优解是带方程的卡尔曼滤波

$\begin{array}{l} \dot{\hat{X}} = 一个 \hat{X} + 乙 ü + 大号（ ÿ - C \hat{X} - d ü ） \\ [\begin{matrix} \hat{ÿ} \\ \hat{X} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 一世 \end{matrix}] \hat{X} + [\begin{matrix} d \\ 0 \end{matrix}] ü \end{array}$

滤波器增益大号通过求解代数Riccati方程是确定

$大号 = （ P C^{Ť} + \bar{ñ} ） {\bar{[R}}^{- 1}$

哪里

$\begin{array}{l} \bar{[R} = [R + H ñ + ñ^{Ť} H^{Ť} + H Q H^{Ť} \\ \bar{ñ} = G （ Q H^{Ť} + ñ ） \end{array}$

和P解决了对应的代数Riccati方程。

该估计器使用公知的输入ü和测量ÿ生成输出和状态估计 $\hat{ÿ}$ 和 $\hat{X}$ 。请注意, $\hat{ÿ}$ 估计真正的工厂产量

$ÿ = C X + d ü + H w ^+ v$

离散时间估计

鉴于离散厂

$\begin{array}{l} X [ñ + 1] = 一个 X [ñ] + 乙 ü [ñ] + G w ^[ñ] \\ ÿ [ñ] = C X [ñ] + d ü [ñ] + H w ^[ñ] + v [ñ] \end{array}$

和噪声协方差数据

$Ë （ w ^[ñ] w ^{[ñ]}^{Ť} ） = Q ， Ë （ v [ñ] v {[ñ]}^{Ť} ） = [R ， Ë （ w ^[ñ] v {[ñ]}^{Ť} ） = ñ$

估计有下列状态方程：

$\hat{X} [ñ + 1 | ñ] = 一个 \hat{X} [ñ | ñ - 1] + 乙 ü [ñ] + 大号（ ÿ [ñ] - C \hat{X} [ñ | ñ - 1] - d ü [ñ] ）$

增益矩阵大号通过求解离散Riccati方程是衍生

$大号 = （一个 P C^{Ť} + \bar{ñ} ） {（ C P C^{Ť} + \bar{[R} ）}^{- 1}$

哪里

$\begin{array}{l} \bar{[R} = [R + H ñ + ñ^{Ť} H^{Ť} + H Q H^{Ť} \\ \bar{ñ} = G （ Q H^{Ť} + ñ ） \end{array}$

离散时间卡尔曼估计量有两种变式:

目前的估计产生输出估值 $\hat{ÿ} [ñ | ñ]$ 和状态估计 $\hat{X} [ñ | ñ]$ 使用所有可用的测量高达 $ÿ [ñ]$ 。这估计有输出方程

$[\begin{matrix} \hat{ÿ} [ñ | ñ] \\ \hat{X} [ñ | ñ] \end{matrix}] = [\begin{matrix} （一世 - {中号}_{ÿ} ） C \\ 一世 - {中号}_{X} C \end{matrix}] \hat{X} [ñ | ñ - 1] + [\begin{matrix} （一世 - {中号}_{ÿ} ） d & {中号}_{ÿ} \\ - {中号}_{X} d & {中号}_{X} \end{matrix}] [\begin{matrix} ü [ñ] \\ ÿ [ñ] \end{matrix}] ，$

其中，创新收益中号_X和中号_ÿ被定义为：

$\begin{matrix} {中号}_{X} = P C^{Ť} {（ C P C^{Ť} + \bar{[R} ）}^{- 1} ， \\ {中号}_{ÿ} = （ C P C^{Ť} + H Q H^{Ť} + H ñ ） {（ C P C^{Ť} + \bar{[R} ）}^{- 1} 。 \end{matrix}$

中号_X更新预测 $\hat{X} [ñ | ñ - 1]$ 使用新的测量 $ÿ [ñ]$ 。

$\hat{X} [ñ | ñ] = \hat{X} [ñ | ñ - 1] + {中号}_{X} \underset{一世 ñ ñ Ø v 一个 Ť 一世 Ø ñ}{\underset{}}{（ ÿ [ñ] - C \hat{X} [ñ | ñ - 1] - d ü [ñ] ）}} 。$

什么时候H= 0， ${中号}_{ÿ} = C {中号}_{X}$ 和 $ÿ [ñ | ñ] = C X [ñ | ñ] + d ü [ñ]$ 。
延迟估计器产生输出估计 $\hat{ÿ} [ñ | ñ - 1]$ 和状态估计 $\hat{X} [ñ | ñ - 1]$ 使用测量仅达ÿ_v[ñ1]。这个估计器更容易在控制循环内部实现，并且有输出方程

$[\begin{matrix} \hat{ÿ} [ñ | ñ - 1] \\ \hat{X} [ñ | ñ - 1] \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 一世 \end{matrix}] \hat{X} [ñ | ñ - 1] + [\begin{matrix} d & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} ü [ñ] \\ ÿ [ñ] \end{matrix}]$

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN）创建状态空间模型KEST卡尔曼估计给出的工厂模型SYS和噪声协方差数据QN，RN，神经网络（矩阵Q，[R，ñ在描述描述）。SYS必须是一个状态空间模型的矩阵与 $一个， [乙 G] ， C ， [d H]$ 。

所得到的估计KEST具有输入 $[ü; ÿ]$ 输出 $[\hat{ÿ}; \hat{X}]$ （或它们的离散时间对应物）。您可以省略最后的输入参数神经网络什么时候N = 0。

这个函数卡尔曼同时处理连续和离散的问题，并产生连续的估计时SYS是连续的和一个分立估计否则。在连续的时间，卡尔曼也返回卡尔曼增益大号和稳态误差协方差矩阵P。P求解相关的黎卡蒂方程。

(k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn,神经网络、传感器、已知)处理时，更普遍的情况

并非所有的输出SYS被测量。
扰动输入w ^不是最后输入SYS。

索引向量传感器和知指定输出ÿ的SYS被测量，并且其中输入ü(确定的)。所有其他输入SYS假设随机。

[KEST，L，P，M，Z] =卡尔曼（SYS，QN，RN，...，类型）指定离散时间植物中估计器类型SYS。的类型论点是'当前'（默认）或'延迟'。对离散时间的植物,卡尔曼返回的估计和创新收益大号和中号和稳态误差协方差

$\begin{array}{l} P = \underset{ñ \to \infty}{LIM} Ë （ Ë [ñ | ñ - 1] Ë [^{ñ | ñ - 1] Ť} ）， Ë [ñ | ñ - 1] = X [ñ] - X [ñ | ñ - 1] \\ ž = \underset{ñ \to \infty}{LIM} Ë （ Ë [ñ | ñ] Ë [^{ñ | ñ] Ť} ）， Ë [ñ | ñ] = X [ñ] - X [ñ | ñ] \end{array}$

例子

看到LQG设计的X轴和卡尔曼滤波的例子卡尔曼功能。

限制

厂房及噪音数据必须满足:

（C，一个）检测
$\bar{[R} > 0$ 和 $\bar{Q} - \bar{ñ} {\bar{[R}}^{- 1} {\bar{ñ}}^{Ť} \geq 0$
$（一个 - \bar{ñ} {\bar{[R}}^{- 1} C ， \bar{Q} - \bar{ñ} {\bar{[R}}^{- 1} {\bar{ñ}}^{Ť} ）$ 具有与符号在虚轴上没有不可控制的方式（或以离散时间单位圆）

$\begin{array}{l} \bar{Q} = G Q G^{Ť} \\ \bar{[R} = [R + H ñ + ñ^{Ť} H^{Ť} + H Q H^{Ť} \\ \bar{ñ} = G （ Q H^{Ť} + ñ ） \end{array}$